Вправа 10.31 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 10.31. Одна зі сторін трикутника на $15$ см більша за другу, а висота, проведена до третьої сторони, ділить її на відрізки завдовжки $32$ см і $7$ см. Знайдіть периметр трикутника.
Дано
$\triangle ABC$, $BH$ — висота
$AH=32$ см, $HC=7$ см
$AB-BC=15$ см
Знайти
$P$ — ?
Висота $BH=h$ розбиває трикутник на два прямокутні: $ABH$ і $CBH$.
$AB^2=AH^2+h^2=32^2+h^2=1024+h^2$;
$BC^2=HC^2+h^2=7^2+h^2=49+h^2$.
Оскільки $AH>HC$, то $AB>BC$, тож $AB-BC=15$, звідки $AB=BC+15$.
$AB^2-BC^2=(1024+h^2)-(49+h^2)=975$.
$AB^2-BC^2=(AB-BC)(AB+BC)$:
$15\cdot(AB+BC)=975$;
$AB+BC=65$.
Разом із $AB-BC=15$:
$AB=40$, $BC=25$.
$AC=AH+HC=32+7=39$.
$P=AB+BC+AC=40+25+39=104$ (см).
Перевірка
$h^2=AB^2-AH^2=40^2-32^2=1600-1024=576$, $h=24$.
$BC=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$ ✓.
Теорема Піфагора
У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:
$c^2=a^2+b^2$.
Різниця квадратів
$AB^2-BC^2=(AB-BC)(AB+BC)$.
Цей розклад дозволяє знайти суму сторін, знаючи їх різницю й різницю квадратів.
Чому два прямокутні трикутники. Висота $BH$ перпендикулярна до $AC$, тому ділить трикутник $ABC$ на два прямокутні — $ABH$ і $CBH$ — зі спільним катетом $h$. У кожному з них гіпотенуза — це шукана сторона ($AB$ або $BC$), а катети — висота $h$ і відповідний відрізок основи ($32$ або $7$).
Головний прийом — різниця квадратів. Висота $h$ невідома, але в обох виразах $AB^2$ і $BC^2$ вона входить однаково. Тому при відніманні $AB^2-BC^2$ доданок $h^2$ зникає: лишається $1024-49=975$. А оскільки $AB^2-BC^2=(AB-BC)(AB+BC)$ і різниця $AB-BC=15$ дана, одразу маємо суму $AB+BC=975:15=65$.
Система на дві сторони. Маємо $AB-BC=15$ і $AB+BC=65$. Додавши рівняння: $2AB=80$, $AB=40$; тоді $BC=25$. Знаходити саму висоту для відповіді не обов'язково — вона потрібна лише для перевірки.
Яка сторона більша. Більший відрізок основи ($32$) прилягає до більшої похилої — це $AB$. Тому саме $AB>BC$, і різницю записуємо як $AB-BC=15$, а не навпаки. Якщо переплутати, отримаєте від'ємну суму — сигнал про помилку.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.