Вправа 12.24 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 12.24. Доведіть, що коли чотирикутник $ABCD$ — паралелограм, то $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Як ви думаєте, чи є справедливим обернене твердження: якщо $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, то точки $A$, $B$, $C$ і $D$ є вершинами паралелограма?
Пряме твердження
$ABCD$ — паралелограм, тому $AB \parallel DC$ і $AB = DC$.
Вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{DC}$ співнапрямлені (обхід вершин однаковий) і рівні за довжиною.
Отже, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
Обернене твердження
Нехай $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Тоді $AB \parallel DC$ і $AB = DC$ — одна пара протилежних сторін паралельна й рівна, отже $ABCD$ — паралелограм.
Виняток: якщо всі чотири точки лежать на одній прямій, паралелограма не утворюється.
Ознака паралелограма
Якщо в чотирикутнику одна пара протилежних сторін паралельна й рівна, то він паралелограм. Векторно це записують як $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
Пряме твердження. У паралелограмі протилежні сторони паралельні й рівні. Вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{DC}$ при стандартному обході $A\to B\to C\to D$ дивляться в один бік, тому вони не просто паралельні, а рівні.
Обернене. Рівність $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ дає одразу і паралельність, і рівність сторін $AB$ і $DC$. За ознакою паралелограма цього достатньо — фігура паралелограм.
Тонкість із виродженням. Якщо $A$, $B$, $C$, $D$ опиняться на одній прямій, рівність векторів усе ще можлива, але «чотирикутника» немає — фігура вироджена. Тому обернене твердження правильне з застереженням: точки не мають лежати на одній прямій.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.