Вправа 12.29 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 12.29. Для чотирьох точок $A$, $B$, $C$ і $D$ відомо, що $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$. Доведіть, що середини відрізків $AD$ і $BC$ збігаються. Доведіть обернене твердження: якщо середини відрізків $AD$ і $BC$ збігаються, то $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.
Позначимо радіус-вектори точок: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ (від спільного початку $O$).
Пряме твердження
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$, $\overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c}$.
З $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$: $\vec{b} - \vec{a} = \vec{d} - \vec{c}$.
Перегрупуємо: $\vec{a} + \vec{d} = \vec{b} + \vec{c}$.
Середина $AD$: $\dfrac{\vec{a}+\vec{d}}{2}$; середина $BC$: $\dfrac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$.
Вони рівні, отже середини збігаються.
Обернене твердження
Якщо середини збігаються: $\dfrac{\vec{a}+\vec{d}}{2} = \dfrac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$, тобто $\vec{a}+\vec{d} = \vec{b}+\vec{c}$.
Звідси $\vec{b}-\vec{a} = \vec{d}-\vec{c}$, тобто $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.
Радіус-вектор і середина відрізка
Якщо точки задані радіус-векторами $\vec{a}$, $\vec{d}$, то середина відрізка має радіус-вектор
$\vec{m} = \dfrac{\vec{a} + \vec{d}}{2}$.
Вектор через радіус-вектори
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.
Чому радіус-вектори. Зручно задати кожну точку вектором від спільного початку $O$. Тоді і сторони ($\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$), і середини ($\frac{\vec{a}+\vec{d}}{2}$) виражаються однією формулою — далі все зводиться до алгебри.
Серцевина доведення. Рівність $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ після перегрупування перетворюється на $\vec{a}+\vec{d}=\vec{b}+\vec{c}$. А це й означає рівність середин $AD$ і $BC$. Усі кроки оборотні, тому обернене твердження доводиться тими самими рівностями у зворотному порядку.
Геометричний зміст. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ робить $ABDC$ паралелограмом (можливо, виродженим), а діагоналі паралелограма $AD$ і $BC$ діляться спільною точкою навпіл — звідси й збіг середин.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.