Вправа 12.30 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 12.30. Відомо, що $\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{ON}$. Доведіть, що точка $O$ — середина відрізка $MN$. Доведіть обернене твердження: якщо точка $O$ — середина відрізка $MN$, то $\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{ON}$.
Пряме твердження
$\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{ON}$ — вектори рівні: співнапрямлені й однакові за довжиною.
Спільна точка $O$ — кінець першого і початок другого, тому $M$, $O$, $N$ лежать на одній прямій.
Рівність довжин дає $MO = ON$, отже $O$ — середина $MN$.
Обернене твердження
Якщо $O$ — середина $MN$, то $M$, $O$, $N$ на одній прямій і $MO = ON$.
Вектори $\overrightarrow{MO}$ і $\overrightarrow{ON}$ співнапрямлені (обидва «від $M$ до $N$») і рівні за довжиною, отже $\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{ON}$.
Рівність векторів зі спільною точкою
Якщо $\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{ON}$, то спільна точка $O$ лежить на відрізку $MN$ і ділить його навпіл.
Рівність векторів — дві умови одразу. $\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{ON}$ означає однаковий напрям і однакову довжину. Однаковий напрям зі спільною точкою $O$ ставить усі три точки на одну пряму; однакова довжина дає $MO=ON$.
Чому це середина. Точка лежить на відрізку й однаково віддалена від кінців — це й є означення середини. Тому $O$ — середина $MN$.
Оборотність. Усі кроки симетричні: із «середини» так само випливає і колінеарність, і рівність довжин, і збіг напрямів. Тому обернене твердження доводиться тим самим міркуванням у зворотний бік.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.