Вправа 14.43 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 14.43. Доведіть, що для неколінеарних векторів $\vec{a}$ і $\vec{b}$ виконується нерівність $\left|\vec{a} + \vec{b}\right| < \left|\vec{a}\right| + \left|\vec{b}\right|$.
Відкладемо від точки $A$ вектор $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, а від точки $B$ — вектор $\overrightarrow{BC} = \vec{b}$.
Тоді $\vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{AC}$, і $\left|\vec{a}+\vec{b}\right| = AC$, $\left|\vec{a}\right| = AB$, $\left|\vec{b}\right| = BC$.
Оскільки $\vec{a}$ і $\vec{b}$ неколінеарні, точки $A$, $B$, $C$ не лежать на одній прямій і утворюють трикутник.
За нерівністю трикутника $AC < AB + BC$.
Отже, $\left|\vec{a} + \vec{b}\right| < \left|\vec{a}\right| + \left|\vec{b}\right|$, що й треба було довести.
Правило трикутника
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$, $\left|\overrightarrow{AC}\right| = AC$.
Нерівність трикутника
У трикутнику будь-яка сторона менша за суму двох інших:
$AC < AB + BC$.
Переходимо від векторів до сторін. Якщо відкласти $\vec{b}$ від кінця $\vec{a}$, то сума $\vec{a}+\vec{b}$ стає третьою стороною трикутника $ABC$, а модулі векторів — довжинами його сторін.
Навіщо неколінеарність. Саме вона гарантує, що $A$, $B$, $C$ утворюють справжній трикутник. Тоді нерівність строга. Якби вектори були співнапрямлені, ми мали б рівність $\left|\vec{a}+\vec{b}\right| = \left|\vec{a}\right| + \left|\vec{b}\right|$ (точки на одній прямій).
Геометричний зміст. Пряма між двома точками коротша за ламану — тому «прямий» вектор суми коротший за суму довжин доданків.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.