Вправа 15.44 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
15.44. Медіани трикутника $ABC$ перетинаються в точці $M$. Виразіть вектор $\overrightarrow{BM}$ через вектори $\overrightarrow{BA}$ і $\overrightarrow{BC}$.
Дано
$\triangle ABC$
$M$ — точка перетину медіан
Знайти
$\overrightarrow{BM}-?$
$A_1$ — середина $AC$, $BA_1$ — медіана з вершини $B$.
$\overrightarrow{BA_1}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)$.
$M$ ділить медіану як $2:1$ від вершини: $\overrightarrow{BM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA_1}$.
$\overrightarrow{BM}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)$.
$\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)$.
Медіана через сторони
$\overrightarrow{BA_1}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)$.
Точка перетину медіан
ділить кожну медіану у відношенні $2:1$, рахуючи від вершини.
Дві властивості в одному ланцюжку. Спочатку медіану до середини $AC$ виражаємо як півсуму сторін, потім беремо $\dfrac{2}{3}$ її (бо центроїд ділить медіану $2:1$). Множники $\dfrac{2}{3}$ і $\dfrac{1}{2}$ дають акуратне $\dfrac{1}{3}$.
Симетрична відповідь — добра ознака. $\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$ симетрична за $A$ і $C$ — так і має бути, адже центроїд рівноправний для всіх вершин. Якби коефіцієнти вийшли різні — варто шукати помилку.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.