Вправа 15.47 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
15.47. Використовуючи задачу 15.46, доведіть теорему про середню лінію трапеції.
Трапеція $ABCD$, $BC\parallel AD$. $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CD$. $MN$ — середня лінія.
За задачею 15.46 (середини $AB$ і $DC$):
$\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)$.
$\overrightarrow{AD}\uparrow\uparrow\overrightarrow{BC}$ (бо $BC\parallel AD$, однаковий напрям обходу).
$\overrightarrow{MN}$ співнапрямлений з $\overrightarrow{AD}$ — $MN\parallel AD\parallel BC$.
$MN=\dfrac{1}{2}\left(AD+BC\right)$.
Задача 15.46
$\overrightarrow{M_1M_2}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{B_1B_2}\right)$.
Середня лінія трапеції
паралельна основам і дорівнює їх півсумі.
Готова формула працює напряму. Кінці середньої лінії — середини бічних сторін $AB$ і $DC$. Підставляємо їх у рівність із задачі 15.46 і відразу маємо $\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})$. Окремо нічого доводити не треба — лише послатися на 15.46.
Чому модулі додаються, а не віднімаються. Основи $AD$ і $BC$ паралельні й однаково напрямлені (обхід трапеції в один бік), тому $|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}|=AD+BC$. Якби напрями були протилежні, вийшла б різниця — але в трапеції це не так.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.