Вправа 15.48 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
15.48. На стороні $AC$ трикутника $ABC$ позначено точку $M$ так, що $AM:MC=2:3$. Доведіть, що $\overrightarrow{BM}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}$.
Дано
$\triangle ABC$
$M\in AC$, $AM:MC=2:3$
Довести
$\overrightarrow{BM}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}$
$AM:MC=2:3$, тому $\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$.
$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right)$.
$\overrightarrow{BM}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}$, що й треба було довести.
Поділ сторони
$AM:MC=2:3 \Rightarrow \overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}$.
Різниця векторів зі спільним початком
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$.
Ідея — пройти через точку $A$. $\overrightarrow{BM}$ розбиваємо на $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}$, бо $\overrightarrow{BA}$ вже в потрібному базисі, а $\overrightarrow{AM}$ — частина сторони $AC$.
Перехід до базису. Сторону $\overrightarrow{AC}$ виражаємо через $\overrightarrow{BC}$ і $\overrightarrow{BA}$ (обидві з вершини $B$). Після підстановки коефіцієнт при $\overrightarrow{BA}$: $1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}$. Сума коефіцієнтів $\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}=1$ — характерна для точки на стороні.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.