Вправа 15.50 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
15.50. Доведіть, що існує трикутник, сторони якого дорівнюють медіанам даного трикутника.
Трикутник $ABC$, медіани $\overrightarrow{AA_1}$, $\overrightarrow{BB_1}$, $\overrightarrow{CC_1}$.
$\overrightarrow{AA_1}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.
$\overrightarrow{BB_1}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)$.
$\overrightarrow{CC_1}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)$.
Сума: $\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=$
$=\dfrac{1}{2}\big(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\big)$.
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}$, $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$, $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=\vec{0}$.
$\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\vec{0}$.
Три вектори з нульовою сумою утворюють трикутник (замкнену ламану).
Медіана через вектори
$\overrightarrow{AA_1}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.
Ознака трикутника з векторів
три ненульових вектори утворюють трикутник, якщо їх сума дорівнює $\vec{0}$.
Чому медіана — півсума. $A_1$ — середина $BC$, тому $\overrightarrow{AA_1}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ (діагональ паралелограма, побудованого на сторонах). Це база всього доведення.
Сума скорочується дочиста. Кожна сторона трикутника входить у суму двічі з протилежними напрямами ($\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{BA}$ тощо), тому все взаємно знищується. Залишається $\vec{0}$.
Нуль = замкнений трикутник. Якщо відкласти три вектори «хвіст до голови» й вони дають нульову суму — кінець збігся з початком, ламана замкнулась. Саме це й означає «існує трикутник зі сторонами-медіанами».
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.