Вправа 16.26 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
16.26. Відомо, що $|\vec{a}| = \sqrt{3}$, $|\vec{b}| = 1$, $\angle(\vec{a};\,\vec{b}) = 150^{\circ}$. Знайдіть $|2\vec{a} + 5\vec{b}|$.
$\vec{a}\cdot\vec{b} = \sqrt{3}\cdot 1\cdot\cos 150^{\circ} = \sqrt{3}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\dfrac{3}{2}$.
$|2\vec{a} + 5\vec{b}|^2 = (2\vec{a} + 5\vec{b})^2 =$
$= 4|\vec{a}|^2 + 20\,\vec{a}\cdot\vec{b} + 25|\vec{b}|^2 =$
$= 4\cdot 3 + 20\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right) + 25\cdot 1 =$
$= 12 - 30 + 25 = 7$.
$|2\vec{a} + 5\vec{b}| = \sqrt{7}$.
Модуль через скалярний квадрат
$|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}} = \sqrt{\vec{v}^{\,2}}$.
Квадрат суми векторів
$(2\vec{a} + 5\vec{b})^2 = 4|\vec{a}|^2 + 20\,\vec{a}\cdot\vec{b} + 25|\vec{b}|^2$.
Модуль шукаємо через квадрат. Безпосередньо довжину суми векторів не порахувати, тому спершу знаходимо $|2\vec{a} + 5\vec{b}|^2$ як скалярний квадрат, а в кінці беремо корінь.
Формула квадрата суми. $(2\vec{a} + 5\vec{b})^2$ розкривається як $(x+y)^2$: квадрат першого, подвоєний добуток, квадрат другого. «Подвоєний добуток» тут — $2\cdot 2\cdot 5\cdot\vec{a}\cdot\vec{b} = 20\,\vec{a}\cdot\vec{b}$.
Тупий кут зменшує суму. Через $\cos 150^{\circ} < 0$ скалярний добуток від'ємний ($-\dfrac{3}{2}$), і середній доданок $-30$ «з'їдає» частину суми. Тому модуль вийшов невеликий — $\sqrt{7}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.