Вправа 16.3 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
16.3. На рисунку зображено рівносторонній трикутник $ABC$, медіани $AM$ і $BK$ якого перетинаються в точці $F$. Знайдіть кут між векторами:
1) $\overrightarrow{BA}$ і $\overrightarrow{BC}$; 2) $\overrightarrow{BA}$ і $\overrightarrow{AC}$; 3) $\overrightarrow{BC}$ і $\overrightarrow{AM}$; 4) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{AM}$; 5) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{BK}$; 6) $\overrightarrow{AM}$ і $\overrightarrow{BK}$; 7) $\overrightarrow{CF}$ і $\overrightarrow{AB}$.
Дано
$\triangle ABC$ — рівносторонній
$AM$, $BK$ — медіани
$AM \cap BK = F$
Знайти
кути між парами векторів 1)–7)
У рівносторонньому трикутнику всі кути дорівнюють $60^{\circ}$, а кожна медіана є водночас висотою і бісектрисою.
1) $\overrightarrow{BA}$ і $\overrightarrow{BC}$
Вектори виходять зі спільної вершини $B$ уздовж сторін $BA$ і $BC$.
$\angle(\overrightarrow{BA};\,\overrightarrow{BC}) = \angle B = 60^{\circ}$.
2) $\overrightarrow{BA}$ і $\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{BA}$ і $\overrightarrow{AB}$ — протилежні; $\angle(\overrightarrow{AB};\,\overrightarrow{AC}) = \angle A = 60^{\circ}$.
$\angle(\overrightarrow{BA};\,\overrightarrow{AC}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
3) $\overrightarrow{BC}$ і $\overrightarrow{AM}$
$AM$ — медіана до $BC$, отже $AM$ — висота: $AM \perp BC$.
$\angle(\overrightarrow{BC};\,\overrightarrow{AM}) = 90^{\circ}$.
4) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{AM}$
$AM$ — бісектриса кута $A$, тому ділить $\angle A = 60^{\circ}$ навпіл.
$\angle(\overrightarrow{AB};\,\overrightarrow{AM}) = \dfrac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$.
5) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{BK}$
$BK$ — бісектриса кута $B$: $\angle(\overrightarrow{BA};\,\overrightarrow{BK}) = 30^{\circ}$.
$\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{BA}$ — протилежні, тому
$\angle(\overrightarrow{AB};\,\overrightarrow{BK}) = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$.
6) $\overrightarrow{AM}$ і $\overrightarrow{BK}$
З пункту 4) $\angle(\overrightarrow{AB};\,\overrightarrow{AM}) = 30^{\circ}$; з пункту 5) $\angle(\overrightarrow{BA};\,\overrightarrow{BK}) = 30^{\circ}$.
У трикутнику $ABF$: $\angle AFB = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ}$.
$\angle(\overrightarrow{AM};\,\overrightarrow{BK}) = 120^{\circ}$.
7) $\overrightarrow{CF}$ і $\overrightarrow{AB}$
Точка $F$ лежить на медіані з вершини $C$ (медіани перетинаються в одній точці), а медіана з $C$ є висотою: $CF \perp AB$.
$\angle(\overrightarrow{CF};\,\overrightarrow{AB}) = 90^{\circ}$.
Кут між векторами
Кут між двома векторами вимірюють, відклавши їх від спільного початку. Якщо вектори відкладені від різних точок, їх подумки переносять у спільну точку.
Протилежні вектори
$\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{BA}$ напрямлені у протилежні боки. Тому
$\angle(\overrightarrow{BA};\,\vec{v}) = 180^{\circ} - \angle(\overrightarrow{AB};\,\vec{v})$.
Властивості рівностороннього трикутника
Усі кути дорівнюють $60^{\circ}$. Кожна медіана водночас є висотою і бісектрисою, тому:
медіана $\perp$ протилежній стороні; медіана ділить кут при вершині навпіл ($30^{\circ}$).
Головна ідея. Кут між векторами — це не завжди кут трикутника. Дивись на напрям кожної стрілки. Якщо обидва вектори виходять зі спільної вершини «назовні» по сторонах — це прямо кут трикутника (пункт 1). Якщо хоча б один «дивиться» у вершину, а не з неї — береш $180^{\circ}$ мінус кут.
Чому в рівносторонньому все просто. Тут медіана, висота і бісектриса — одна й та сама лінія. Тому медіана одразу дає і прямий кут зі стороною, до якої проведена (пункти 3, 7), і половину кута при вершині, з якої виходить (пункти 4, 5).
Найчастіша помилка — переплутати напрям. У пункті 2) кут між $\overrightarrow{BA}$ і $\overrightarrow{AC}$ дорівнює не $60^{\circ}$, а $120^{\circ}$: вектор $\overrightarrow{BA}$ напрямлений до $A$, а $\overrightarrow{AC}$ — від $A$. Перенеси $\overrightarrow{BA}$ так, щоб його початок збігся з $A$ (це буде $\overrightarrow{(-AB)}$), і побачиш тупий кут. Те саме в пункті 5).
Кут між медіанами (пункт 6). Зручно дивитися на трикутник $ABF$, де $F$ — точка перетину. Кути при $A$ і $B$ у ньому — це половинки кутів трикутника, по $30^{\circ}$. Тоді $\angle AFB = 120^{\circ}$ — це і є кут між напрямами $\overrightarrow{AM}$ і $\overrightarrow{BK}$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.