Вправа 16.32 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
16.32. Знайдіть косинуси кутів трикутника з вершинами $A(1;\,6)$, $B(-2;\,3)$ і $C(2;\,-1)$.
Дано
$A(1;\,6)$, $B(-2;\,3)$, $C(2;\,-1)$
Знайти
$\cos A$, $\cos B$, $\cos C$
Кут $A$ — між $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{AB} = (-3;\,-3)$, $\overrightarrow{AC} = (1;\,-7)$.
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = -3 + 21 = 18$;
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$\cos A = \dfrac{18}{3\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}} = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}$.
Кут $B$ — між $\overrightarrow{BA}$ і $\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{BA} = (3;\,3)$, $\overrightarrow{BC} = (4;\,-4)$.
$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} = 12 - 12 = 0$.
$\cos B = 0$.
Кут $C$ — між $\overrightarrow{CA}$ і $\overrightarrow{CB}$.
$\overrightarrow{CA} = (-1;\,7)$, $\overrightarrow{CB} = (-4;\,4)$.
$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB} = 4 + 28 = 32$;
$|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{CB}| = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
$\cos C = \dfrac{32}{5\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}} = \dfrac{32}{40} = \dfrac{4}{5}$.
Косинус кута трикутника через вектори
Кут при вершині — це кут між двома векторами, що виходять із цієї вершини до сусідніх:
$\cos A = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|}$.
Головне — правильні вектори. Для кожного кута беремо два вектори, що виходять із його вершини. Для $\angle A$ це $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{AC}$, для $\angle B$ — $\overrightarrow{BA}$ і $\overrightarrow{BC}$ тощо. Якщо взяти, наприклад, $\overrightarrow{AB}$ замість $\overrightarrow{BA}$ для кута $B$ — отримаєш косинус суміжного кута з протилежним знаком.
Прямий кут видно одразу. У вершині $B$ скалярний добуток дорівнює нулю, тому $\cos B = 0$ і $\angle B = 90^{\circ}$. Трикутник прямокутний.
Перевірка. Сума квадратів косинусів двох гострих кутів прямокутного трикутника має давати $1$: $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 = \dfrac{9 + 16}{25} = 1$ ✓. Це підтверджує, що $A$ і $C$ — взаємно доповнювальні гострі кути.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.