Вправа 16.37 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
16.37. У чотирикутнику $ABCD$ діагоналі $AC$ і $BD$ перпендикулярні та перетинаються в точці $O$. Відомо, що $OB = OC = 1$, $OA = 2$, $OD = 3$. Знайдіть кут між прямими $AB$ і $DC$.
Дано
$ABCD$, $AC \perp BD$
$AC \cap BD = O$
$OB = OC = 1$, $OA = 2$, $OD = 3$
Знайти
кут між прямими $AB$ і $DC$
Введемо систему координат із початком $O$, осі вздовж діагоналей: вісь $x$ — уздовж $AC$, вісь $y$ — уздовж $BD$.
$A(2;\,0)$, $C(-1;\,0)$, $B(0;\,1)$, $D(0;\,-3)$.
$\overrightarrow{AB} = (0 - 2;\,1 - 0) = (-2;\,1)$;
$\overrightarrow{DC} = (-1 - 0;\,0 - (-3)) = (-1;\,3)$.
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC} = (-2)(-1) + 1\cdot 3 = 2 + 3 = 5$;
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$, $|\overrightarrow{DC}| = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.
$\cos\varphi = \dfrac{|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}|}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{DC}|} = \dfrac{5}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}} =$
$= \dfrac{5}{\sqrt{50}} = \dfrac{5}{5\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
$\varphi = 45^{\circ}$.
Кут між прямими через вектори
Кут між прямими — гострий, тому беруть модуль косинуса:
$\cos\varphi = \dfrac{|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}|}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{DC}|}$.
Перпендикулярні діагоналі — підказка для координат. Якщо діагоналі взаємно перпендикулярні, природно спрямувати осі вздовж них. Тоді $A$ і $C$ опиняються на осі $x$, $B$ і $D$ — на осі $y$, а координати визначаються прямо з відстаней $OA$, $OC$, $OB$, $OD$.
$A$ і $C$ — по різні боки від $O$. Це точки на одній діагоналі, тому в них протилежні знаки координати: $A(2;0)$ і $C(-1;0)$. Так само $B(0;1)$ і $D(0;-3)$. Якщо поставити їх по один бік — фігура «зломиться».
Кут між прямими, а не векторами. Прямі не мають напряму, тому кут між ними завжди гострий (від $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$). Щоб не отримати тупий кут, у формулі беремо модуль скалярного добутку. Тут добуток і так додатний, тому модуль нічого не змінив.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.