Вправа 16.39 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
16.39. На сторонах $AB$ і $BC$ трикутника $ABC$ у зовнішній бік побудовано квадрати $ABMN$ і $BCKF$. Доведіть, що медіана $BD$ трикутника $ABC$ перпендикулярна до прямої $MF$.
Дано
$\triangle ABC$
$ABMN$, $BCKF$ — квадрати назовні
$BD$ — медіана ($D$ — середина $AC$)
Довести
$BD \perp MF$
Позначимо $\overrightarrow{BA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{BC} = \vec{c}$. Поворот на $-90^{\circ}$ позначимо $\rho$: він зберігає довжину й дає перпендикулярний вектор.
Сусіднє ребро квадрата — це сторона, повернута на $90^{\circ}$. Для квадратів назовні:
$\overrightarrow{BM} = -\rho(\vec{a})$ (квадрат $ABMN$ на $AB$);
$\overrightarrow{BF} = \rho(\vec{c})$ (квадрат $BCKF$ на $BC$).
$\overrightarrow{MF} = \overrightarrow{BF} - \overrightarrow{BM} = \rho(\vec{c}) + \rho(\vec{a}) = \rho(\vec{a} + \vec{c})$.
Медіана: $\overrightarrow{BD} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}\right) = \dfrac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c})$.
Отже $\overrightarrow{MF} = 2\,\rho\!\left(\overrightarrow{BD}\right)$ — це вектор $\overrightarrow{BD}$, повернутий на $90^{\circ}$.
Повернутий на $90^{\circ}$ вектор перпендикулярний до початкового, тому
$\overrightarrow{MF}\cdot\overrightarrow{BD} = 0 \Rightarrow MF \perp BD$.
Перевірка координатами
Нехай $A(a_x;\,a_y)$, $B(b_x;\,b_y)$, $C(c_x;\,c_y)$. Поворот на $-90^{\circ}$: $(x;\,y) \to (y;\,-x)$.
$\overrightarrow{MF} = (a_y - 2b_y + c_y;\; -a_x + 2b_x - c_x)$;
$\overrightarrow{BD} = \left(\dfrac{a_x - 2b_x + c_x}{2};\; \dfrac{a_y - 2b_y + c_y}{2}\right)$.
$\overrightarrow{MF}\cdot\overrightarrow{BD} =$
$= (a_y - 2b_y + c_y)\cdot\dfrac{a_x - 2b_x + c_x}{2} +$
$+ (-a_x + 2b_x - c_x)\cdot\dfrac{a_y - 2b_y + c_y}{2} = 0$ ✓.
Доданки протилежні, тому сума дорівнює нулю при будь-яких координатах.
Медіана через вектори
$\overrightarrow{BD} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}\right)$,
де $D$ — середина $AC$.
Поворот на $90^{\circ}$
На $+90^{\circ}$: $(x;\,y) \to (-y;\,x)$; на $-90^{\circ}$: $(x;\,y) \to (y;\,-x)$.
Повернутий вектор перпендикулярний до початкового.
Чому квадрати — це повороти. Сусіднє ребро квадрата отримується зі сторони поворотом на $90^{\circ}$. Тому $\overrightarrow{BM}$ — це $\overrightarrow{BA}$, повернутий на прямий кут, а $\overrightarrow{BF}$ — $\overrightarrow{BC}$, повернутий на прямий кут у протилежний бік (бо квадрати з різних сторін трикутника).
Ключ — спільний множник. Коли обидва доданки $\overrightarrow{MF}$ записати через один і той самий поворот ($-90^{\circ}$), виноситься $\rho^{-1}(\vec{a} + \vec{c})$. А $\vec{a} + \vec{c}$ — це подвоєна медіана. Тому $\overrightarrow{MF}$ — просто повернута медіана, звідки перпендикулярність.
Координатна перевірка надійніша за «на око». Якщо поворот як операція ще не дуже звичний, можна одразу взяти буквені координати $A$, $B$, $C$, виписати $M$ і $F$ через формулу повороту й перемножити вектори. Скалярний добуток тотожно дорівнює нулю — це строгий доказ для довільного трикутника.
Часта помилка. Побудувати обидва квадрати «в один бік» (обидва ліворуч або обидва праворуч від сторін). Тоді повороти будуть однаковими, спільний множник не вийде, і перпендикулярність зникне. Важливо, що квадрати — назовні, тобто з протилежних боків відносно трикутника.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.