Вправа 17.28 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
17.28. Точки $A(1;\,3)$, $B(2;\,6)$, $C(-3;\,1)$ є вершинами паралелограма $ABCD$. При паралельному перенесенні паралелограма $ABCD$ образом точки перетину його діагоналей є точка $O_1(-2;\,-4)$. Знайдіть образи точок $A$, $B$, $C$ і $D$ при такому паралельному перенесенні.
Дано
$A(1;\,3)$, $B(2;\,6)$, $C(-3;\,1)$
$ABCD$ — паралелограм
$O$ — перетин діагоналей, $O_1(-2;\,-4)$ — образ $O$
Знайти
$A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1 - ?$
$O$ — середина діагоналі $AC$:
$O = \left(\dfrac{1-3}{2};\,\dfrac{3+1}{2}\right) = (-1;\,2)$.
$D$ — з умови, що $O$ — середина $BD$: $D = 2O - B$.
$D = (2\cdot(-1)-2;\,2\cdot 2-6) = (-4;\,-2)$.
$\vec{a} = \overrightarrow{OO_1} = (-2-(-1);\,-4-2) = (-1;\,-6)$.
$A_1 = (1-1;\,3-6) = (0;\,-3)$.
$B_1 = (2-1;\,6-6) = (1;\,0)$.
$C_1 = (-3-1;\,1-6) = (-4;\,-5)$.
$D_1 = (-4-1;\,-2-6) = (-5;\,-8)$.
Діагоналі паралелограма
Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл. Тому точка $O$ — середина і $AC$, і $BD$.
Координати середини
$O\left(\dfrac{x_A+x_C}{2};\,\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)$.
Звідси, якщо $O$ — середина $BD$, то $D = 2O - B$.
Паралельне перенесення
На вектор $\vec{a}(a;\,b)$: $(x;\,y) \to (x+a;\,y+b)$.
Дві невідомі точки. У задачі бракує і вершини $D$, і вектора перенесення. Ключ — властивість діагоналей: $O$ — спільна середина $AC$ і $BD$. Через $A$ і $C$ знаходимо $O$, а через $O$ і $B$ — четверту вершину $D$.
Вектор — через центр. Центр $O$ переходить у $O_1$, тому $\vec{a} = \overrightarrow{OO_1}$. Далі всі чотири вершини зсуваємо на цей вектор.
Не переплутай порядок вершин. У паралелограмі $ABCD$ діагоналі — це $AC$ і $BD$ (вершини через одну), а не $AB$ і $CD$. Якщо взяти не ті пари, центр вийде неправильний.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.