Вправа 18.21 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
18.21. Доведіть, що прямі, які містять діагоналі ромба, є його осями симетрії.
Дано
ромб $ABCD$
$AC$, $BD$ — діагоналі
Довести
прямі $AC$ і $BD$ — осі симетрії ромба
Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні й точкою перетину $O$ діляться навпіл: $AC \perp BD$, $BO = OD$, $AO = OC$.
Розглянемо симетрію відносно прямої $BD$.
$BD \perp AC$ і проходить через середину $O$ відрізка $AC$, тому $A$ і $C$ симетричні відносно $BD$.
$B$ і $D$ лежать на прямій $BD$ — переходять самі в себе.
Отже, вершини переходять: $A \to C$, $C \to A$, $B \to B$, $D \to D$, а весь ромб — сам у себе. Значить, $BD$ — вісь симетрії.
Аналогічно: $AC \perp BD$ і ділить $BD$ навпіл, тому $B$ і $D$ симетричні відносно $AC$, а $A$, $C$ нерухомі. Отже, $AC$ — теж вісь симетрії.
Діагоналі ромба
Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні й точкою перетину діляться навпіл:
$AC \perp BD$, $\;AO = OC$, $\;BO = OD$.
Вісь симетрії фігури
Пряма $l$ — вісь симетрії фігури, якщо при симетрії відносно $l$ фігура переходить сама в себе.
З чого виходимо. Доведення спирається на головну властивість діагоналей ромба: вони перпендикулярні й діляться навпіл. Саме ці дві умови — перпендикулярність і поділ навпіл — і є означенням симетрії двох точок відносно прямої. Тому діагональ автоматично «дзеркалить» одну пару вершин у другу.
Чому $BD$ — вісь. Пряма $BD$ перпендикулярна до $AC$ і проходить через середину $O$ відрізка $AC$. Отже $A$ і $C$ симетричні відносно $BD$. А самі $B$ і $D$ лежать на цій прямій, тож нерухомі. Усі чотири вершини або переходять одна в одну, або лишаються — ромб накладається сам на себе.
Симетрично для $AC$. Те саме міркування, помінявши ролями діагоналі: $AC$ перпендикулярна до $BD$ і ділить його навпіл, тому $B \leftrightarrow D$, а $A$, $C$ нерухомі. Тому в ромба дві осі симетрії — обидві діагоналі.
Поширена помилка. Думають, що осями симетрії ромба є й прямі через середини сторін (як у прямокутника). Для ромба це не так — осі тільки по діагоналях. Прямі через середини протилежних сторін є осями симетрії в прямокутника, а в загальному ромбі вони фігуру в себе не переводять.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.