Вправа 18.33 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
18.33. Дано трикутник $ABC$. Знайдіть точку, симетричний образ якої відносно будь-якої сторони трикутника лежить на колі, описаному навколо цього трикутника.
Дано
$\triangle ABC$
коло, описане навколо $\triangle ABC$
Знайти
точку, образ якої відносно сторони — на колі
Шукана точка — ортоцентр $H$ (точка перетину висот трикутника).
Образ ортоцентра при симетрії відносно будь-якої сторони лежить на колі, описаному навколо трикутника.
Обґрунтування для сторони $AB$. Нехай $H_1$ — образ $H$ відносно $AB$. Симетрія зберігає кути, тому $\angle AH_1B = \angle AHB$.
$\angle AHB = 180^{\circ} - \angle C$ (кут між двома висотами).
$\angle AH_1B = 180^{\circ} - \angle C$, отже $\angle AH_1B + \angle C = 180^{\circ}$ — чотирикутник $AH_1BC$ вписаний.
Тому $H_1$ лежить на колі, описаному навколо $\triangle ABC$.
Ортоцентр
Ортоцентр — точка перетину трьох висот трикутника (або їхніх продовжень).
Вписаний чотирикутник
Чотирикутник вписаний у коло тоді й лише тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює $180^{\circ}$.
Кут між висотами
Кут між висотами, проведеними з вершин $A$ і $B$, дорівнює $180^{\circ} - \angle C$.
Звідки взяти точку. У задачі не сказано, яку точку шукати, — її треба здогадатися. Відповідь — ортоцентр $H$. Це красива властивість: якщо ортоцентр відбити через будь-яку сторону, образ потрапляє точно на описане коло. Працює для всіх трьох сторін одночасно.
Ключова рівність кутів. Доведення тримається на тому, що симетрія зберігає кути: $\angle AH_1B = \angle AHB$. А кут між двома висотами легко порахувати: $\angle AHB = 180^{\circ}-\angle C$. Отже образ «бачить» сторону $AB$ під кутом, що доповнює $\angle C$ до $180^{\circ}$.
Чому це і означає «на колі». Якщо в чотирикутнику $AH_1BC$ сума протилежних кутів $\angle AH_1B + \angle C = 180^{\circ}$, то він вписаний. А коло, що проходить через $A$, $B$, $C$, — це і є описане коло трикутника. Значить, $H_1$ лежить на ньому.
Симетрія по трьох сторонах. Те саме міркування проходить для сторін $BC$ і $AC$ — там у грі кути $\angle A$ і $\angle B$. Тому образ ортоцентра відносно будь-якої сторони лежить на описаному колі. Саме універсальність робить ортоцентр відповіддю.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.