Вправа 18.35 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
18.35. Периметр паралелограма $ABCD$ дорівнює 48 см, $AD = 7$ см. Яку сторону паралелограма перетинає бісектриса кута $B$? Знайдіть відрізки, на які бісектриса ділить сторону паралелограма.
Дано
паралелограм $ABCD$
$P = 48$ см, $AD = 7$ см
$BM$ — бісектриса кута $B$
Знайти
яку сторону перетинає; відрізки $CM$ і $MD$
$P = 2(AB + AD) = 48 \;\Rightarrow\; AB + AD = 24$.
$AB = 24 - 7 = 17$ (см); $\;BC = AD = 7$, $\;CD = AB = 17$.
Бісектриса кута $B$ перетинає сторону $CD$ у точці $M$ (бо $CD = 17 > BC = 7$).
$BC \parallel AD$, тому $\angle ABM = \angle BMC$ (різносторонні при січній $BM$).
$\angle ABM = \angle MBC$ (бісектриса), отже $\angle MBC = \angle BMC$.
Трикутник $BCM$ рівнобедрений: $CM = BC = 7$ (см).
$MD = CD - CM = 17 - 7 = 10$ (см).
Периметр паралелограма
$P = 2(a + b)$,
де $a$ і $b$ — сусідні сторони. Протилежні сторони рівні.
Бісектриса й паралельні прямі
Бісектриса кута паралелограма відтинає від нього рівнобедрений трикутник: при паралельних сторонах різносторонні кути рівні, тому трикутник із бісектрисою має дві рівні сторони.
Спершу знаходимо сторони. З периметра $2(AB+AD)=48$ маємо $AB+AD=24$, тож $AB=17$. У паралелограмі протилежні сторони рівні: $CD=AB=17$, $BC=AD=7$. Тепер видно, що довга сторона ($CD=17$) значно більша за коротку.
Яку сторону перетне бісектриса. Бісектриса кута $B$ йде «всередину» паралелограма й упирається в дальню сторону. Оскільки відтинається рівнобедрений трикутник з $CM=BC=7$, а сторона $CD=17$ це вміщує ($7<17$), бісектриса перетинає саме $CD$. Якби сторона була коротшою за $BC$, бісектриса вийшла б за неї — тут цього немає.
Чому трикутник $BCM$ рівнобедрений. $BM$ — січна для паралельних $BC$ і $AD$, тому $\angle ABM=\angle BMC$ (різносторонні кути). Але $\angle ABM=\angle MBC$ — це властивість бісектриси. Значить $\angle MBC=\angle BMC$, а в трикутнику проти рівних кутів лежать рівні сторони: $CM=BC=7$.
Завершення. Залишок сторони: $MD=CD-CM=17-7=10$. Часта помилка — приписати $CM=AB$ або забути, що паралельність дає рівні кути саме через січну $BM$. Тримай ланцюжок: бісектриса + паралельність → рівнобедрений трикутник → $CM=BC$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.