Вправа 18.8 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
18.8. Проведіть прямі $a$ і $a_1$, які перетинаються. Побудуйте пряму, відносно якої пряма $a_1$ буде симетричною прямій $a$. Скільки розв'язків має задача?
Дано
прямі $a$ і $a_1$
$a \cap a_1 = O$
Побудувати
пряму, відносно якої $a_1$ симетрична $a$
Прямі $a$ і $a_1$ перетинаються в точці $O$, утворюючи чотири кути (дві пари вертикальних).
Вісь симетрії, що переводить $a$ в $a_1$, проходить через $O$ і ділить кут між прямими навпіл — це бісектриса кута.
Бісектриси двох суміжних кутів дають дві такі прямі $b_1$ і $b_2$; вони взаємно перпендикулярні.
Бісектриса як вісь симетрії кута
Пряма, яка містить бісектрису кута, є його віссю симетрії: при симетрії відносно неї одна сторона кута переходить у другу.
Образ прямої при осьовій симетрії
Осьова симетрія переводить пряму в пряму. Якщо вісь проходить через точку перетину $a$ і $a_1$, то образ прямої $a$ — пряма, що теж проходить через цю точку.
Чому вісь — це бісектриса. Симетрія зберігає кути. Щоб пряма $a$ перейшла в $a_1$, вісь має лежати «посередині» між ними — на однаковому куті від кожної. Саме це й робить бісектриса кута між $a$ і $a_1$: вона ділить кут навпіл, тож відбиває одну сторону в другу.
Звідки беруться два розв'язки. Дві прямі, що перетинаються, утворюють чотири кути: дві пари вертикальних. Бісектриса однієї пари — одна пряма $b_1$, бісектриса сусідньої пари — друга пряма $b_2$. Обидві переводять $a$ в $a_1$, тому осей рівно дві. До того ж $b_1 \perp b_2$ (бісектриси суміжних кутів завжди перпендикулярні).
Як побудувати бісектрису. З точки $O$ проведи дугу, що перетне обидві прямі; з двох отриманих точок — дуги рівного радіуса; пряма $O$ через їх перетин — бісектриса. Повтори для сусіднього кута — отримаєш другу вісь.
Часта помилка. Дають лише один розв'язок. Питання «скільки розв'язків» — підказка: не забудь про другу бісектрису, перпендикулярну до першої.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.