Вправа 19.21 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
19.21. Доведіть, що коло має центр симетрії.
Дано
коло з центром $O$ і радіусом $r$
Довести
коло має центр симетрії
Розглянемо симетрію відносно центра кола $O$.
Нехай $X$ — довільна точка кола, тоді $OX = r$.
$X_1$ — образ $X$ при симетрії відносно $O$, тобто $O$ — середина $XX_1$.
$OX_1 = OX = r$.
Точка $X_1$ віддалена від $O$ на $r$, тому $X_1$ також належить колу.
Кожна точка кола переходить у точку кола, отже образ кола — те саме коло.
Коло
Коло — множина всіх точок площини, рівновіддалених від центра $O$ на відстань $r$ (радіус).
Симетрія відносно точки
При симетрії відносно $O$ образ точки $X$ — така точка $X_1$, що $O$ — середина $XX_1$; тоді $OX_1 = OX$.
Працюємо з означенням кола. Коло — це всі точки на однаковій відстані $r$ від центра. Щоб довести, що центр $O$ є центром симетрії, треба показати: образ кожної точки кола — теж точка кола.
Симетрія зберігає відстань до центра. Беремо довільну точку $X$ на колі: $OX = r$. Її образ $X_1$ розташований так, що $O$ — середина $XX_1$, тому $OX_1 = OX = r$. Виходить, $X_1$ теж віддалена від $O$ на $r$ — а це й означає, що $X_1$ лежить на колі.
Висновок про всю фігуру. Оскільки кожна точка кола переходить у точку того самого кола, образ кола збігається з ним. Отже, центр кола — його центр симетрії.
Корисний наслідок. Будь-яка хорда, що проходить через центр (діаметр), при цій симетрії переходить сама в себе. Тому коло має не лише центр симетрії, а й нескінченно багато осей симетрії — усі прямі через центр.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.