Вправа 19.23 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
19.23. Доведіть, що образом прямої, яка проходить через центр симетрії, є ця сама пряма.
Дано
пряма $\ell$, центр симетрії $O$
$O \in \ell$
Довести
образ $\ell$ при симетрії відносно $O$ — сама $\ell$
Нехай $X$ — довільна точка прямої $\ell$.
$X_1$ — образ $X$ при симетрії відносно $O$: $O$ — середина $XX_1$.
Точки $X$, $O$, $X_1$ лежать на одній прямій (на прямій $XO$).
$O \in \ell$ і $X \in \ell$, тому пряма $XO$ збігається з $\ell$.
Отже, $X_1 \in \ell$.
Кожна точка прямої $\ell$ переходить у точку прямої $\ell$, тому образ $\ell$ — сама пряма $\ell$.
Симетрія відносно точки
Точки $X$ і $X_1$ симетричні відносно $O$, якщо $O$ — середина відрізка $XX_1$.
Зокрема, точки $X$, $O$, $X_1$ лежать на одній прямій.
Образ прямої при центральній симетрії
Образ прямої — пряма, паралельна їй; якщо пряма проходить через центр, образ збігається з нею.
Беремо довільну точку прямої. Щоб довести, що образ прямої — сама пряма, показуємо: образ кожної її точки знову лежить на цій прямій. Візьмемо будь-яку точку $X \in \ell$ і знайдемо її образ $X_1$.
Три точки на одній прямій. За означенням симетрії $O$ — середина $XX_1$, тому $X$, $O$, $X_1$ завжди колінеарні (на прямій $XO$). Це працює для будь-якої точки $X$.
Чому $X_1$ потрапляє на $\ell$. Тут вирішальна умова: $O$ лежить на $\ell$. Тоді пряма $XO$ — це пряма, яка проходить через дві точки прямої $\ell$ ($X$ і $O$), а отже, збігається з $\ell$. Виходить, $X_1$ теж на $\ell$.
Порівняй із загальним випадком. Якщо пряма не проходить через центр, її образ — паралельна їй інша пряма. І лише коли центр лежить на прямій, образ збігається з самою прямою. Саме це й робить такі прямі особливими.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.