Вправа 19.25 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
19.25. Точки $A(x;-2)$ і $B(1;y)$ симетричні відносно: 1) початку координат; 2) точки $M(-1;3)$. Знайдіть $x$ і $y$.
Дано
$A(x;-2)$, $B(1;y)$
$A$ і $B$ симетричні відносно центра
Знайти
$x$, $y$ для центра: 1) $O(0;0)$; 2) $M(-1;3)$
1) Симетрія відносно $O(0;0)$: $O$ — середина $AB$, тому $B = (-x;\,2)$.
$\begin{cases} 1 = -x \\ y = 2 \end{cases}$
$x = -1$, $y = 2$.
2) Симетрія відносно $M(-1;3)$: $M$ — середина $AB$.
$\dfrac{x+1}{2} = -1 \Rightarrow x+1 = -2 \Rightarrow x = -3$.
$\dfrac{-2+y}{2} = 3 \Rightarrow -2+y = 6 \Rightarrow y = 8$.
Координати середини відрізка
Якщо $M$ — середина $AB$, то $M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$.
Симетрія відносно точки
Точки $A$ і $B$ симетричні відносно $M$ $\Leftrightarrow$ $M$ — середина $AB$.
Обернена задача. Тут координати не дано повністю — частину треба знайти. Працює та сама ідея: якщо $A$ і $B$ симетричні відносно центра, то центр — середина $AB$. Прирівнюємо координати середини до координат центра і отримуємо рівняння на $x$ та $y$.
Симетрія відносно $O$ — найпростіший випадок. Тут центр $(0;0)$, тому образ $A(x;-2)$ — це $(-x;2)$. Прирівнюємо до $B(1;y)$: з першої координати $1 = -x$, з другої $y = 2$. Кожна координата дає одне рівняння.
Загальний центр $M(-1;3)$. Складаємо рівняння для середини: $\dfrac{x_A+x_B}{2} = x_M$ і $\dfrac{y_A+y_B}{2} = y_M$. Підставляємо відомі числа й розв'язуємо кожне окремо. $x$ знаходимо з рівняння для абсцис, $y$ — для ординат.
Перевірка. Підстав знайдені $x$, $y$ і переконайся, що середина $AB$ дорівнює центру. Для 2) маємо $A(-3;-2)$, $B(1;8)$: середина — $\left(\dfrac{-3+1}{2};\dfrac{-2+8}{2}\right) = (-1;3) = M$. Усе зійшлося.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.