Вправа 19.31 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
19.31. На стороні $CD$ квадрата $ABCD$ позначено точку $E$. Бісектриса кута $BAE$ перетинає сторону $BC$ у точці $F$. Доведіть, що $AE = BF + ED$.
Дано
квадрат $ABCD$, $E \in CD$
$AF$ — бісектриса $\angle BAE$, $F \in BC$
Довести
$AE = BF + ED$
Розглянемо поворот навколо точки $A$ на $90^{\circ}$, що переводить $AD$ у $AB$.
$AD = AB$, $\angle DAB = 90^{\circ}$, тому $D \to B$.
$E \in CD$ переходить у точку $E'$ на прямій $BC$ (за точкою $B$); при цьому $AE' = AE$, $BE' = DE$, $\angle ABE' = \angle ADE = 90^{\circ}$.
Точки $E'$, $B$, $F$ лежать на одній прямій ($BC$ та її продовження).
$\angle E'AF = \angle E'AB + \angle BAF = \angle EAD + \angle BAF$.
$AF$ — бісектриса: $\angle BAF = \angle FAE$.
$\angle BAE + \angle EAD = 90^{\circ}$, тому $\angle FAE + \angle EAD = \angle FAB + \angle BAE'$, звідки $\angle E'AF = \angle AFE'$.
$\triangle AE'F$ — рівнобедрений: $E'F = AE' = AE$.
$E'F = E'B + BF = ED + BF$.
$AE = BF + ED$.
Поворот навколо точки
Поворот навколо $A$ на $90^{\circ}$ переводить точку $X$ у $X_1$, де $AX_1 = AX$ і $\angle XAX_1 = 90^{\circ}$.
Поворот зберігає довжини відрізків і величини кутів.
Ознака рівнобедреного трикутника
Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений (сторони проти рівних кутів рівні).
Ідея — «перенести» відрізок $ED$ повертанням. Доводити рівність $AE = BF + ED$ напряму важко: $BF$ і $ED$ лежать на різних сторонах. Прийом — повернути квадрат навколо $A$ на $90^{\circ}$, щоб сторона $AD$ лягла на $AB$. Тоді відрізок $ED$ «переїде» і стане відрізком $BE'$ на одній прямій із $BF$.
Куди потрапляє $E'$. При повороті $D \to B$, а точка $E$ зі сторони $CD$ переходить у точку $E'$ на прямій $BC$, причому по інший бік від $B$ (на продовженні). Важливо, що $BE' = DE$ (поворот зберігає довжину) і $AE' = AE$. Тепер $E'$, $B$, $F$ — на одній прямій.
Чому трикутник $AE'F$ рівнобедрений. Кут $\angle E'AF$ складається з $\angle E'AB$ (це образ $\angle EAD$) і $\angle BAF$. Завдяки бісектрисі $\angle BAF = \angle FAE$, а сума всіх кутів при $A$ дає рівність $\angle E'AF = \angle AFE'$. Трикутник із двома рівними кутами — рівнобедрений, тому $E'F = AE' = AE$.
Фінал — складання відрізків. Оскільки $E'$, $B$, $F$ на одній прямій і $B$ між ними, маємо $E'F = E'B + BF = ED + BF$. Але $E'F = AE$, тому $AE = BF + ED$. Поворот «склав» два відрізки в один і звів усе до однієї прямої.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.