Вправа 2.29 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
2.29. Сума двох сторін трикутника, які утворюють кут величиною $120^{\circ}$, дорівнює $8$ см, а довжина третьої сторони — $7$ см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.
Дано
дві сторони $a$ і $b$, кут $120^{\circ}$ між ними
$a + b = 8$ см
третя сторона $7$ см
Знайти
сторони $a$ і $b$ — ?
Третя сторона лежить проти кута $120^{\circ}$:
$7^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos120^{\circ}$.
$49 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right) = a^2 + b^2 + ab$.
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 64 - 2ab$.
$49 = 64 - 2ab + ab = 64 - ab$.
$ab = 15$.
$\begin{cases} a + b = 8 \\ ab = 15 \end{cases}$ $\Rightarrow$ $a = 3$, $b = 5$ (або навпаки).
Теорема косинусів
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$.
Квадрат суми
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.
Теорема Вієта
Числа із сумою $8$ і добутком $15$ — корені рівняння $t^2 - 8t + 15 = 0$, тобто $3$ і $5$.
Дано суму, а не самі сторони. Невідомі обидві сторони $a$ і $b$, але відома їх сума $a+b=8$. Тому замість того, щоб шукати кожну окремо, вводимо два співвідношення: одне з умови ($a+b=8$), друге з теореми косинусів.
Хитрість із квадратом суми. У теоремі косинусів зустрічається $a^2+b^2$. Його зручно замінити через відому суму: $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=64-2ab$. Тоді в рівнянні лишається одна невідома $ab$, і знаходимо $ab=15$.
Система зводиться до Вієта. Маємо $a+b=8$, $ab=15$. Це сума й добуток коренів квадратного рівняння $t^2-8t+15=0$. Його корені — $3$ і $5$. Який із них $a$, а який $b$ — не важливо, бо задача симетрична.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.