Вправа 2.31 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
2.31. Дві сторони трикутника дорівнюють $16$ см і $14$ см, а кут, протилежний меншій із відомих сторін, дорівнює $60^{\circ}$. Знайдіть невідому сторону трикутника.
Дано
сторони $16$ см і $14$ см
кут проти меншої ($14$) дорівнює $60^{\circ}$
Знайти
невідому сторону $x$ — ?
Сторона $14$ лежить проти кута $60^{\circ}$ між сторонами $16$ і $x$:
$14^2 = 16^2 + x^2 - 2\cdot16\cdot x\cdot\cos60^{\circ}$.
$196 = 256 + x^2 - 16x$.
$x^2 - 16x + 60 = 0$.
$x = 6$ або $x = 10$.
Теорема косинусів
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$.
Квадратне рівняння
$x^2 - 16x + 60 = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = 6, \; x_2 = 10$.
Невідома сторона — у правій частині. Тут проти кута $60^{\circ}$ стоїть відома сторона $14$, а шукана $x$ — одна зі сторін, що утворюють цей кут. Тому $x$ потрапляє в праву частину формули, і рівняння виходить квадратним відносно $x$.
Два корені — два трикутники. Рівняння $x^2-16x+60=0$ має два додатні корені: $6$ і $10$. Обидва підходять — існують два різні трикутники з такими даними. Це не помилка, а особливість задачі: умова не визначає трикутник однозначно.
Перевір кожен корінь. І $6$, і $10$ задовольняють нерівність трикутника зі сторонами $16$ і $14$, тож обидва розв'язки справжні. Якби якийсь корінь був від'ємним або порушував нерівність трикутника, його довелося б відкинути.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.