Вправа 2.42 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк

Умова

2.42. Одна зі сторін трикутника у $2$ рази більша за другу, а кут між цими сторонами становить $60^{\circ}$ . Доведіть, що даний трикутник є прямокутним.

Розв'язання

Нехай сторони $a$ і $2a$ , кут між ними $60^{\circ}$ . Третя сторона $c$ лежить проти цього кута:

$c^2 = a^2 + (2a)^2 - 2\cdot a\cdot2a\cdot\cos60^{\circ}$ .

$c^2 = a^2 + 4a^2 - 4a^2\cdot\dfrac{1}{2} =$

$= 5a^2 - 2a^2 = 3a^2$ .

$c = a\sqrt{3}$ .

Перевіримо найбільшу сторону $2a$ :

$(2a)^2 = 4a^2$ .

$a^2 + c^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$ .

$(2a)^2 = a^2 + c^2$ — за оберненою теоремою Піфагора кут проти сторони $2a$ прямий.

Відповідь

Трикутник прямокутний, що й треба було довести.

Теорема косинусів

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ .

Обернена теорема Піфагора

$a^2 + c^2 = b^2 \;\Rightarrow\;$ кут проти $b$ прямий.

Працюємо з буквами. Конкретних чисел немає, тож позначаємо меншу сторону $a$ , більшу $2a$ . Третю сторону знаходимо теоремою косинусів — виходить $c=a\sqrt3$ . Тепер відомі всі три сторони (через $a$ ).

Перевіряємо найбільшу сторону. Щоб довести прямокутність, перевіряємо найдовшу сторону $2a$ за оберненою теоремою Піфагора. Сума квадратів двох інших: $a^2+3a^2=4a^2=(2a)^2$ . Рівність виконується.

Прямий кут — навпроти найбільшої сторони. Оскільки $(2a)^2=a^2+c^2$ , кут навпроти сторони $2a$ прямий. Зверни увагу: даний у задачі кут $60^{\circ}$ — між $a$ і $2a$ , а прямий кут виявляється навпроти $2a$ , тобто це інший кут трикутника.