Вправа 2.46 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
2.46. Чи можна описати коло навколо чотирикутника $ABCD$, якщо $AB = 4$ см, $AD = 3$ см, $BD = 6$ см і $\angle C = 30^{\circ}$?
Дано
чотирикутник $ABCD$
$AB = 4$, $AD = 3$, $BD = 6$ (см)
$\angle C = 30^{\circ}$
Знайти
чи можна описати коло — ?
Якщо коло можна описати, то $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$, тобто $\angle A = 150^{\circ}$.
Знайдемо $\angle A = \angle BAD$ із трикутника $ABD$ ($BD$ проти кута $A$):
$\cos\angle A = \dfrac{AB^2 + AD^2 - BD^2}{2\cdot AB\cdot AD}$.
$\cos\angle A = \dfrac{16 + 9 - 36}{2\cdot4\cdot3} = \dfrac{-11}{24}$.
$\angle A = \arccos\left(-\dfrac{11}{24}\right) \approx 117^{\circ}$.
$\angle A \approx 117^{\circ} \neq 150^{\circ}$, тож умова $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ не виконується.
Ознака вписаного чотирикутника
Коло можна описати тоді й лише тоді, коли сума протилежних кутів дорівнює $180^{\circ}$:
$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
Косинус кута через сторони
$\cos A = \dfrac{AB^2 + AD^2 - BD^2}{2\cdot AB\cdot AD}$.
Перевіряємо умову вписаності. Чотирикутник вписується в коло лише тоді, коли його протилежні кути в сумі дають $180^{\circ}$. Кут $C$ дано ($30^{\circ}$), тож для вписаного потрібен $\angle A=150^{\circ}$. Перевіримо, чи це так.
Кут $A$ — у трикутнику $ABD$. Діагональ $BD$ разом зі сторонами $AB$ і $AD$ утворює трикутник, де всі сторони відомі. Знаходимо $\cos\angle A=-\dfrac{11}{24}$, що відповідає приблизно $117^{\circ}$.
Висновок із порівняння. Реальний кут $A\approx117^{\circ}$, а для вписаного потрібен рівно $150^{\circ}$. Вони не рівні, тож умова $\angle A+\angle C=180^{\circ}$ порушена — коло описати не можна. Достатньо однієї пари протилежних кутів, щоб дати відповідь.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.