Вправа 2.59 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
2.59. Один із кутів, утворених при перетині бісектриси кута паралелограма з його стороною, дорівнює одному з кутів паралелограма. Знайдіть кути паралелограма.
Дано
$ABCD$ — паралелограм, $\angle A = \alpha$
бісектриса кута $A$ перетинає $BC$ у точці $K$
кут при $K$ дорівнює куту паралелограма
Знайти
кути паралелограма — ?
Бісектриса ділить $\angle A = \alpha$ навпіл: $\angle BAK = \dfrac{\alpha}{2}$.
$AD \parallel BC$, тому $\angle AKB = \angle KAD = \dfrac{\alpha}{2}$ (навхрест лежачі).
Кути при точці $K$: $\angle AKB = \dfrac{\alpha}{2}$ і $\angle AKC = 180^{\circ} - \dfrac{\alpha}{2}$.
За умовою один із них дорівнює куту паралелограма. Кут $\dfrac{\alpha}{2}$ не може дорівнювати $\alpha$, тож:
$\dfrac{\alpha}{2} = 180^{\circ} - \alpha$.
$\dfrac{3\alpha}{2} = 180^{\circ}$; $\alpha = 120^{\circ}$.
Кути паралелограма: $120^{\circ}$ і $180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
Навхрест лежачі кути
При паралельних прямих і січній навхрест лежачі кути рівні.
Кути паралелограма
Сусідні кути доповнюють одне одного до $180^{\circ}$.
Бісектриса плюс паралельність. Бісектриса ділить кут $A$ навпіл, даючи $\dfrac{\alpha}{2}$. Оскільки $BC\parallel AD$, цей самий кут «переноситься» до точки $K$ як навхрест лежачий: $\angle AKB=\dfrac{\alpha}{2}$.
Складаємо рівняння за умовою. При $K$ є два кути: $\dfrac{\alpha}{2}$ і $180^{\circ}-\dfrac{\alpha}{2}$. Один з них дорівнює куту паралелограма ($\alpha$ або $180^{\circ}-\alpha$). Варіант $\dfrac{\alpha}{2}=\alpha$ неможливий, тож лишається $\dfrac{\alpha}{2}=180^{\circ}-\alpha$.
Розв'язуємо й перевіряємо. З рівняння $\alpha=120^{\circ}$, тоді сусідній кут $60^{\circ}$. Паралелограм має по два кути кожного виду: $60^{\circ}, 120^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}$. Підставивши $\alpha=120^{\circ}$, бачимо: $\dfrac{\alpha}{2}=60^{\circ}$ — це справді один із кутів паралелограма.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.