Вправа 20.19 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
20.19. Пряма, паралельна стороні $AC$ трикутника $ABC$, перетинає його сторону $AB$ у точці $M$, а сторону $BC$ — у точці $K$. Знайдіть площу трикутника $ABC$, якщо $BM=4$ см, $AC=8$ см, $AM=MK$, а площа трикутника $MBK$ дорівнює $5\ \text{см}^2$.
Дано
$\triangle ABC$, $MK \parallel AC$
$M \in AB$, $K \in BC$
$BM=4$, $AC=8$ (см)
$AM=MK$, $S_{MBK}=5$ см²
Знайти
$S_{ABC} - ?$
$MK \parallel AC \Rightarrow \triangle MBK \sim \triangle ABC$.
$k=\dfrac{MK}{AC}=\dfrac{BM}{AB}$.
$AB=BM+AM=4+MK$.
$\dfrac{MK}{8}=\dfrac{4}{4+MK}$.
$MK(4+MK)=32$.
$MK^2+4MK-32=0$, $MK=4$ (см).
$k=\dfrac{MK}{AC}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$.
$\dfrac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=k^2=\dfrac{1}{4}$.
$S_{ABC}=\dfrac{S_{MBK}}{k^2}=5\cdot 4=20$ (см²).
Пряма, паралельна стороні
Пряма $MK \parallel AC$ відтинає трикутник $MBK$, подібний $\triangle ABC$:
$k=\dfrac{BM}{AB}=\dfrac{BK}{BC}=\dfrac{MK}{AC}$.
Відношення площ подібних трикутників
$\dfrac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=k^2$.
Паралельність → подібність. Якщо $MK \parallel AC$, кути $\triangle MBK$ і $\triangle ABC$ рівні (спільний кут $B$ і відповідні при паралельних). Значить, трикутники подібні.
Дві умови на коефіцієнт. Коефіцієнт можна виразити і через сторони основи ($\frac{MK}{AC}$), і через бічну сторону ($\frac{BM}{AB}$). Прирівнявши їх (і підставивши $AB=4+MK$, бо $AM=MK$), дістаємо рівняння на $MK$.
Квадратне рівняння — бери додатний корінь. $MK^2+4MK-32=0$ має корені $4$ і $-8$. Довжина не буває від'ємною, тому $MK=4$.
Часта помилка. Підставляють $AB=4$ (плутаючи з $BM$). Уважно: $BM=4$ — лише верхня частина, а вся сторона $AB=BM+AM=4+MK$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.