Вправа 20.21 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
20.21. Пряма, паралельна стороні $AC$ трикутника $ABC$, перетинає сторону $AB$ у точці $D$, сторону $BC$ — у точці $E$, і розбиває цей трикутник на два рівновеликих многокутники. Знайдіть відрізок $DE$, якщо $AC=2$ см.
Дано
$\triangle ABC$, $DE \parallel AC$
$D \in AB$, $E \in BC$
$S_{DBE}=S_{ADEC}$
$AC=2$ см
Знайти
$DE - ?$
$DE \parallel AC \Rightarrow \triangle DBE \sim \triangle ABC$, $k=\dfrac{DE}{AC}$.
$S_{DBE}=S_{ADEC} \Rightarrow S_{DBE}=\dfrac{1}{2}S_{ABC}$.
$\dfrac{S_{DBE}}{S_{ABC}}=k^2=\dfrac{1}{2}$.
$k=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
$DE=AC\cdot k=2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ (см).
Пряма, паралельна стороні
$DE \parallel AC \Rightarrow \triangle DBE \sim \triangle ABC$, $k=\dfrac{DE}{AC}$.
Відношення площ
$\dfrac{S_{DBE}}{S_{ABC}}=k^2$.
«Рівновеликі» = рівні за площею. Прямою трикутник поділено на трикутник $DBE$ і трапецію $ADEC$. Рівновеликі — отже, площа кожного дорівнює половині площі всього трикутника: $S_{DBE}=\frac{1}{2}S_{ABC}$.
Звідси коефіцієнт. $k^2=\frac{1}{2}$, тому $k=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Сторона $DE$ менша за $AC$ саме в стільки разів: $DE=2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.
Чому не половина. Здавалося б, «ділить навпіл — значить $DE=\frac{AC}{2}=1$». Але навпіл ділиться площа, а сторони відносяться як $\sqrt{\text{відношення площ}}$. Тому $DE=\sqrt{2}\approx 1{,}41$, а не $1$.
Часта помилка. Беруть $k=\frac{1}{2}$ замість $\frac{1}{\sqrt{2}}$ — забувають витягти корінь з відношення площ.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.