Вправа 21.10 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 21.10. Сторони трикутника дорівнюють $11$ см, $12$ см і $13$ см. Знайдіть медіану трикутника, проведену до його більшої сторони.
Дано
$\triangle ABC$
$AC=12$, $BC=11$, $AB=13$
$CM$ — медіана до $AB$
Знайти
$CM-?$
$AM=MB=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{13}{2}$.
Формула медіани
$m_c^2 = \dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$, де $c=AB=13$.
$CM^2 = \dfrac{2\cdot 11^2+2\cdot 12^2-13^2}{4}$.
$= \dfrac{242+288-169}{4} = \dfrac{361}{4}$.
$CM = \dfrac{19}{2} = 9{,}5$ (см).
Формула медіани трикутника
Медіана до сторони $c$ обчислюється через усі три сторони:
$m_c = \dfrac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$,
де $a$, $b$ — сторони, що виходять із тієї самої вершини, що й медіана.
Більша сторона
Більша сторона трикутника — $13$ см, тому медіану проводять саме до неї, ділячи її навпіл.
Звідки формула медіани. Її виводять із теореми косинусів: записують її для двох трикутників $ACM$ і $BCM$, що мають спільну сторону $CM$ і суміжні кути при $M$ (їхні косинуси протилежні). Після додавання косинуси скорочуються, і залишається $m_c=\dfrac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$ — без жодного кута. Тому медіану можна знайти, знаючи лише три сторони.
Яку сторону підставляти під мінус. Під знак мінус у формулі йде квадрат тієї сторони, до якої проводять медіану (тут $c=13$). Сторони $a=11$ і $b=12$ — це сторони з подвоєними квадратами, бо вони виходять з вершини $C$, з якої проведено медіану.
Перевірка. $2\cdot121+2\cdot144=242+288=530$; $530-169=361=19^2$. Корінь добувається точно, тому відповідь «кругла»: $\dfrac{19}{2}=9{,}5$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.