Вправа 21.14 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 21.14. Дві сторони трикутника дорівнюють $5$ см і $8$ см, а кут між ними — $60^{\circ}$. Знайдіть радіус кола, описаного навколо даного трикутника.
Дано
$\triangle ABC$
$AB=5$, $AC=8$
$\angle A=60^{\circ}$
Знайти
$R-?$
Сторона $BC$ лежить навпроти кута $A=60^{\circ}$.
Сторона $BC$ (теорема косинусів)
$BC^2 = AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A$.
$= 25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot\dfrac{1}{2} = 49$.
$BC = 7$ (см).
Радіус (теорема синусів)
$\dfrac{BC}{\sin A} = 2R$.
$2R = \dfrac{7}{\sin 60^{\circ}} = \dfrac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{14}{\sqrt{3}}$.
$R = \dfrac{7}{\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$ (см).
Теорема косинусів
$BC^2 = AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A$.
Теорема синусів і радіус описаного кола
Сторона трикутника, поділена на синус протилежного кута, дорівнює діаметру описаного кола:
$\dfrac{a}{\sin A}=2R$.
Значення
$\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$, $\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Два кроки. Радіус описаного кола зручно шукати через теорему синусів $\dfrac{a}{\sin A}=2R$, але для неї потрібні сторона і протилежний їй кут. Кут $60^{\circ}$ заданий, а протилежна йому сторона $BC$ — ні, тому спочатку знаходимо $BC$ за теоремою косинусів, і лише потім — радіус.
Чому беремо саме $BC$ і $\angle A$. Це єдина пара «сторона — протилежний кут», де відомі обидва елементи. Сторони $5$ і $8$ відомі, але кути проти них — ні, тому через них радіус одразу не знайти.
Раціоналізація. $\dfrac{7}{\sqrt{3}}$ прийнято записувати без кореня у знаменнику: домножуємо чисельник і знаменник на $\sqrt{3}$, отримуємо $\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$. Це та сама величина $\approx 4{,}04$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.