Вправа 21.22 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 21.22. У коло вписано квадрат зі стороною $4$ см. Знайдіть площу правильного трикутника, вписаного в це саме коло.
Радіус кола
Для квадрата зі стороною $a$: $R=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
$R=\dfrac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$ (см).
Сторона правильного трикутника
Для правильного трикутника: $a_3=R\sqrt{3}$.
$a_3=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{6}$ (см).
Площа трикутника
$S=\dfrac{a_3^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{(2\sqrt{6})^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{24\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}$ (см²).
Сторона і радіус описаного кола
Квадрат: $a_4=R\sqrt{2}$, звідки $R=\dfrac{a_4\sqrt{2}}{2}$.
Правильний трикутник: $a_3=R\sqrt{3}$.
Площа правильного трикутника
$S=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Ключова ідея — спільне коло. Квадрат і трикутник вписані в одне й те саме коло, тому в обох однаковий радіус $R$. Спершу знаходимо $R$ із квадрата, потім через нього — сторону трикутника.
Не плутай формули зв'язку зі стороною. Для квадрата діагональ дорівнює діаметру: $a_4\sqrt{2}=2R$. Для правильного трикутника сторона $a_3=R\sqrt{3}$ (а не $R\sqrt{2}$). Кожен правильний многокутник має свій коефіцієнт.
Перевірка. $R=2\sqrt{2}\approx 2{,}83$; сторона трикутника $2\sqrt{6}\approx 4{,}9$ — більша за сторону квадрата $4$, що логічно: у трикутника сторона «розтягнута» сильніше.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.