Вправа 21.26 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 21.26. На катеті $AC$ прямокутного трикутника $ABC$ ($\angle C=90^{\circ}$) як на діаметрі побудовано коло. Знайдіть довжину дуги цього кола, яка міститься поза трикутником і відтинається гіпотенузою $AB$, якщо $\angle A=42^{\circ}$, $AC=8$ см.
Дано
$\triangle ABC$, $\angle C=90^{\circ}$
$\angle A=42^{\circ}$, $AC=8$ см
коло на $AC$ як на діаметрі
Знайти
$L_{\text{дуги}}-?$
$D$ — точка перетину кола з $AB$. $\angle ADC=90^{\circ}$ (спирається на діаметр $AC$).
У $\triangle ADC$: $\angle ACD=180^{\circ}-90^{\circ}-42^{\circ}=48^{\circ}$.
Градусна міра дуги $AD$
$\angle ACD$ — вписаний, спирається на дугу $AD$.
$\smile AD=2\angle ACD=2\cdot 48^{\circ}=96^{\circ}$.
Довжина дуги
$r=\dfrac{AC}{2}=4$ (см).
$L=\dfrac{\pi r n}{180^{\circ}}=\dfrac{\pi\cdot 4\cdot 96}{180}=\dfrac{32\pi}{15}$ (см).
Кут, вписаний у коло
Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку спирається: $\angle=\dfrac{1}{2}\smile$.
Кут, що спирається на діаметр, прямий ($90^{\circ}$).
Довжина дуги
$L=\dfrac{\pi r n}{180^{\circ}}$.
Чому $\angle ADC=90^{\circ}$. Точка $D$ лежить на колі, побудованому на $AC$ як на діаметрі. Кут $ADC$ спирається на діаметр $AC$, а такий вписаний кут завжди прямий. Отже $CD\perp AB$.
Як знайти дугу. Хорда $AD$ ділить коло на дві дуги. Поза трикутником лежить менша дуга $AD$ (з боку, протилежного до вершини $C$). Її градусна міра вдвічі більша за вписаний кут $ACD$, що на неї спирається: $\smile AD=2\cdot 48^{\circ}=96^{\circ}$.
Звідки кут $48^{\circ}$. У прямокутному трикутнику $ADC$ ($\angle ADC=90^{\circ}$): $\angle ACD=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-42^{\circ}=48^{\circ}$.
Перевірка. $r=4$, дуга $96^{\circ}$ — трохи більша за чверть кола; $\dfrac{32\pi}{15}\approx 6{,}7$, а чверть кола $\dfrac{2\pi\cdot 4}{4}=2\pi\approx 6{,}28$ — справді трохи більше.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.