Вправа 21.32 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 21.32. Вершинами трикутника є точки $A(-4;\,1)$, $B(-2;\,4)$ і $C(0;\,1)$. Доведіть, що трикутник $ABC$ рівнобедрений, і знайдіть його площу.
Дано
$A(-4;\,1)$, $B(-2;\,4)$, $C(0;\,1)$
Знайти
довести $\triangle ABC$ рівнобедрений
$S-?$
Довжини сторін
$AB=\sqrt{(-2+4)^2+(4-1)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$.
$BC=\sqrt{(0+2)^2+(1-4)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$.
$AC=\sqrt{(0+4)^2+(1-1)^2}=\sqrt{16}=4$.
$AB=BC=\sqrt{13}$ — трикутник рівнобедрений.
Площа
Основа $AC=4$ лежить на прямій $y=1$, висота — відстань від $B$ до неї: $h=4-1=3$.
$S=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot h=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 3=6$ (кв. од.).
Відстань між точками
$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.
Рівнобедрений трикутник
Трикутник рівнобедрений, якщо дві його сторони рівні.
Площа трикутника
$S=\dfrac{1}{2}\,a\,h$.
Як довести рівнобедреність. Достатньо порахувати довжини всіх трьох сторін за формулою відстані. Якщо дві з них збігаються — трикутник рівнобедрений. Тут $AB=BC=\sqrt{13}$, а $AC=4$ — основа.
Чому висоту видно одразу. Точки $A$ і $C$ мають однакову ординату $y=1$, тож сторона $AC$ горизонтальна. Висота до неї — це різниця ординат вершини $B$ і прямої $AC$: $h=4-1=3$. Не треба ні теореми Піфагора, ні рівняння висоти.
Альтернатива через координати. Площу можна знайти й формулою $S=\dfrac{1}{2}|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)|$ — відповідь та сама, $6$. Але «основа × висота» тут коротша, бо основа лежить на горизонталі.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.