Вправа 21.35 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 21.35. Доведіть, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами в точках $A(-12;\,6)$, $B(0;\,11)$, $C(5;\,-1)$ і $D(-7;\,-6)$ є квадратом.
Дано
$A(-12;\,6)$, $B(0;\,11)$
$C(5;\,-1)$, $D(-7;\,-6)$
Знайти
довести: $ABCD$ — квадрат
Сторони
$AB=\sqrt{(0+12)^2+(11-6)^2}=\sqrt{144+25}=13$.
$BC=\sqrt{(5-0)^2+(-1-11)^2}=\sqrt{25+144}=13$.
$CD=\sqrt{(-7-5)^2+(-6+1)^2}=\sqrt{144+25}=13$.
$DA=\sqrt{(-12+7)^2+(6+6)^2}=\sqrt{25+144}=13$.
Усі сторони рівні — $ABCD$ ромб.
Діагоналі
$AC=\sqrt{(5+12)^2+(-1-6)^2}=\sqrt{289+49}=\sqrt{338}$.
$BD=\sqrt{(-7-0)^2+(-6-11)^2}=\sqrt{49+289}=\sqrt{338}$.
$AC=BD$ — діагоналі рівні.
Ромб із рівними діагоналями — квадрат.
Відстань між точками
$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.
Ознака квадрата
Чотирикутник із рівними сторонами — ромб. Ромб із рівними діагоналями — квадрат.
План доведення. Спершу показуємо, що всі чотири сторони рівні — це робить чотирикутник ромбом. Потім порівнюємо діагоналі: якщо вони теж рівні, ромб перетворюється на квадрат. Двох кроків достатньо.
Чому саме така ознака. Рівність усіх сторін гарантує ромб (паралельність випливає з рівності протилежних сторін). А рівні діагоналі в ромбі бувають лише тоді, коли всі кути прямі — тобто це квадрат.
Часта помилка. Перевірити лише сторони й одразу написати «квадрат». Рівних сторін мало — це ще й ромб (наприклад, «приплюснутий»). Обов'язково перевіряй діагоналі: $AC=BD=\sqrt{338}$ тут підтверджує квадрат.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.