Вправа 21.46 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 21.46. Знайдіть рівняння геометричного місця центрів кіл, які проходять через точки $A(-3;\,-2)$ і $B(2;\,5)$.
Центр кола рівновіддалений від $A$ і $B$, тому шукане ГМТ — серединний перпендикуляр відрізка $AB$.
Для точки $M(x;\,y)$ цього ГМТ: $MA^2=MB^2$.
$(x+3)^2+(y+2)^2=(x-2)^2+(y-5)^2$.
$x^2+6x+9+y^2+4y+4=x^2-4x+4+y^2-10y+25$.
$6x+9+4y+4=-4x+4-10y+25$.
$10x+14y-16=0$.
$5x+7y-8=0$.
Серединний перпендикуляр як ГМТ
Множина точок, рівновіддалених від двох даних точок, — серединний перпендикуляр відрізка між ними.
Відстань між точками
$d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$.
Чому це серединний перпендикуляр. Будь-яке коло, що проходить через $A$ і $B$, має центр на однаковій відстані від них (це радіус). А множина рівновіддалених точок — саме серединний перпендикуляр відрізка $AB$.
Як отримати рівняння. Записуємо умову $MA^2=MB^2$ для довільної точки $M(x;\,y)$. Квадрати $x^2$ і $y^2$ скорочуються, лишається лінійне рівняння — рівняння прямої.
Перевірка серединою. Середина $AB$: $\left(\dfrac{-3+2}{2};\,\dfrac{-2+5}{2}\right)=(-0{,}5;\,1{,}5)$. Підставимо: $5\cdot(-0{,}5)+7\cdot 1{,}5-8=-2{,}5+10{,}5-8=0$ ✓ — середина лежить на прямій.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.