Вправа 21.53 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 21.53. На сторонах $AB$ і $BC$ трикутника $ABC$ позначено такі точки $D$ і $E$ відповідно, що $AD:DB=1:2$, $BE:EC=2:1$. Виразіть вектори $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AE}$ і $\overrightarrow{CD}$ через вектори $\overrightarrow{BE}=\vec{a}$ і $\overrightarrow{AD}=\vec{b}$.
Дано
$\triangle ABC$
$D\in AB$, $AD:DB=1:2$
$E\in BC$, $BE:EC=2:1$
$\overrightarrow{BE}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{b}$
Знайти
$\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$,
$\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{CD}$ — ?
$AD=\dfrac{1}{3}AB \;\Rightarrow\; \overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AD}=3\vec{b}$.
$BE=\dfrac{2}{3}BC \;\Rightarrow\; \overrightarrow{BC}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BE}=\dfrac{3}{2}\vec{a}$.
$\overrightarrow{AC}$ і $\overrightarrow{AE}$
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=3\vec{b}+\dfrac{3}{2}\vec{a}$.
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=3\vec{b}+\vec{a}$.
$\overrightarrow{CD}$
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$.
$=-\left(\dfrac{3}{2}\vec{a}+3\vec{b}\right)+\vec{b}=-\dfrac{3}{2}\vec{a}-2\vec{b}$.
Вектор частини сторони
Якщо $AD:DB=1:2$, то $AD=\dfrac{1}{3}AB$, тобто $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AD}$.
Правило трикутника
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$.
Від частин — до цілих сторін. Дано вектори частин сторін ($\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BE}$). Спершу виражаємо повні сторони: з відношення $1:2$ маємо $\overrightarrow{AB}=3\vec{b}$, з $2:1$ — $\overrightarrow{BC}=\dfrac{3}{2}\vec{a}$ (бо $BE$ — це $\dfrac{2}{3}$ від $BC$).
Далі — правило трикутника. $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AE}$ збираємо як суми вже відомих векторів уздовж ламаної $A\to B\to\ldots$
$\overrightarrow{CD}$ — через зворотний хід. Прямого вектора немає, тому йдемо $C\to A\to D$: $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}$, де $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$. Уважно зі знаками — це місце найчастіших помилок.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.