Вправа 21.69 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк

Умова

Вправа 21.69. Чи симетричні точки $M(-3;\,10)$ і $N(-1;\,6)$ відносно точки $K(1;\,4)$?

Розв'язання

Точки симетричні відносно $K$, якщо $K$ — середина відрізка $MN$.

Середина $MN$:

$\left(\dfrac{-3+(-1)}{2};\,\dfrac{10+6}{2}\right)=(-2;\,8)$.

$(-2;\,8)\neq(1;\,4)$ — $K$ не є серединою $MN$.

Відповідь

Ні, точки не симетричні відносно $K$.

Симетрія відносно точки

Точки $M$ і $N$ симетричні відносно $K$ $\;\Leftrightarrow\;$ $K$ — середина $MN$.

Координати середини

$\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\,\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$.

Критерій симетрії. Центральна симетрія відносно точки $K$ означає, що $K$ — точно посередині між точкою та її образом. Тож достатньо перевірити, чи є $K$ серединою $MN$.

Достатньо однієї невідповідності. Знайшли середину $(-2;\,8)$ — вона не збігається з $K(1;\,4)$ навіть за однією координатою. Цього достатньо, щоб дати відповідь «ні».

Що було б при «так». Якби середина дорівнювала $K$, точки були б симетричні. Тут же $K$ лежить осторонь — симетрії немає.