Вправа 21.77 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 21.77. На стороні $BC$ квадрата $ABCD$ позначили точку $M$ так, що $BM:MC=1:2$. Відрізки $AM$ і $BD$ перетинаються в точці $P$. Знайдіть площу трикутника $BPM$, якщо площа трикутника $APD$ дорівнює $27$ см².
Дано
Квадрат $ABCD$
$M\in BC$, $BM:MC=1:2$
$P=AM\cap BD$
$S_{APD}=27$ см²
Знайти
$S_{BPM}-?$
$BM\parallel AD$ (сторони квадрата), тому $\triangle BPM\sim\triangle DPA$ (кути навхрест при січних $AM$ і $BD$).
Коефіцієнт подібності
Нехай сторона квадрата $a$. Тоді $AD=a$, $BM=\dfrac{1}{3}a$.
$k=\dfrac{BM}{AD}=\dfrac{\tfrac{1}{3}a}{a}=\dfrac{1}{3}$.
Площа трикутника $BPM$
$\dfrac{S_{BPM}}{S_{APD}}=k^2=\dfrac{1}{9}$.
$S_{BPM}=\dfrac{1}{9}\cdot 27=3$ (см²).
Подібність за двома кутами
При паралельних прямих $BM\parallel AD$ і січних, що перетинаються, утворюються подібні трикутники (вертикальні та навхрест лежачі кути).
Відношення площ
$\dfrac{S_1}{S_2}=k^2$.
Чому трикутники подібні. $BM$ лежить на стороні $BC$, а $BC\parallel AD$. При перетині $AM$ і $BD$ у точці $P$ утворюються кути навхрест ($\angle PBM=\angle PDA$, $\angle PMB=\angle PAD$). Тож $\triangle BPM\sim\triangle DPA$.
Коефіцієнт — через сторони, що відповідають. Відповідні сторони — $BM$ і $AD$. $BM=\dfrac{1}{3}$ сторони (бо $BM:MC=1:2$, тобто $BM=\dfrac{1}{1+2}BC$), $AD$ — повна сторона. Тому $k=\dfrac{1}{3}$.
Площа — квадрат коефіцієнта. Менший трикутник $BPM$ у $k^2=\dfrac{1}{9}$ разів менший за $APD$. Тому $S_{BPM}=\dfrac{27}{9}=3$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.