Вправа 21.80 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
Вправа 21.80. На продовженнях медіан $AA_1$, $BB_1$ і $CC_1$ трикутника $ABC$ позначили відповідно точки $A_2$, $B_2$ і $C_2$ так, що $A_1A_2=\dfrac{1}{2}AA_1$, $B_1B_2=\dfrac{1}{2}BB_1$, $C_1C_2=\dfrac{1}{2}CC_1$. Знайдіть площу трикутника $A_2B_2C_2$, якщо площа трикутника $ABC$ дорівнює $1$ см².
Дано
$\triangle ABC$, медіани $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$
$A_1A_2=\dfrac{1}{2}AA_1$ (за $A_1$)
аналогічно $B_2$, $C_2$
$S_{ABC}=1$ см²
Знайти
$S_{A_2B_2C_2}-?$
Уведемо радіус-вектори вершин $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ (для $A$, $B$, $C$).
Координати точок $A_2$, $B_2$, $C_2$
$A_1=\dfrac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$ — середина $BC$.
$A_2=A_1+\dfrac{1}{2}(A_1-\vec{a})=\dfrac{3}{2}A_1-\dfrac{1}{2}\vec{a}=\dfrac{3(\vec{b}+\vec{c})}{4}-\dfrac{\vec{a}}{2}$.
Аналогічно: $B_2=\dfrac{3(\vec{a}+\vec{c})}{4}-\dfrac{\vec{b}}{2}$, $C_2=\dfrac{3(\vec{a}+\vec{b})}{4}-\dfrac{\vec{c}}{2}$.
Сторони трикутника $A_2B_2C_2$
$\overrightarrow{A_2B_2}=B_2-A_2=\dfrac{3}{4}(\vec{a}-\vec{b})-\dfrac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})$.
$=\dfrac{3}{4}(\vec{a}-\vec{b})+\dfrac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b})=\dfrac{5}{4}(\vec{a}-\vec{b})$.
Так само $\overrightarrow{A_2C_2}=\dfrac{5}{4}(\vec{a}-\vec{c})$.
Площа
$\overrightarrow{A_2B_2}=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{A_2C_2}=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{CA}$ — обидві сторони у $\dfrac{5}{4}$ раза більші за відповідні в $\triangle ABC$.
$\triangle A_2B_2C_2\sim\triangle ABC$ з коефіцієнтом $k=\dfrac{5}{4}$.
$S_{A_2B_2C_2}=k^2\cdot S_{ABC}=\dfrac{25}{16}\cdot 1=\dfrac{25}{16}$ (см²).
Радіус-вектор середини
$A_1=\dfrac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$ — середина $BC$.
Подібність і площі
Якщо сторони одного трикутника у $k$ раз більші й відповідно паралельні — трикутники подібні, $\dfrac{S_1}{S_2}=k^2$.
Чому векторний метод. Точки $A_2$, $B_2$, $C_2$ задані як зсуви вздовж медіан. Радіус-вектори дозволяють виразити їх через вершини $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ і прямо порахувати сторони нового трикутника.
Ключовий результат. Виходить, що $\overrightarrow{A_2B_2}=\dfrac{5}{4}\overrightarrow{BA}$ — кожна сторона $\triangle A_2B_2C_2$ паралельна стороні $\triangle ABC$ і в $\dfrac{5}{4}$ раза довша. Це і є подібність із коефіцієнтом $k=\dfrac{5}{4}$.
Площа. При подібності площі відносяться як квадрат коефіцієнта: $\left(\dfrac{5}{4}\right)^2=\dfrac{25}{16}$. Тому $S_{A_2B_2C_2}=\dfrac{25}{16}$ — трохи більша за вихідну, що видно й на рисунку (зелений трикутник охоплює синій).
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.