Вправа 3.10 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
3.10. Знайдіть радіус кола, зображеного на рисунку 3.8.
а) хорда $\sqrt{2}$, вписаний кут $45^{\circ}$
Хорда $\sqrt{2}$ стягує вписаний кут $45^{\circ}$. За наслідком з теореми синусів:
$\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R$.
$R=\dfrac{a}{2\sin\alpha}=\dfrac{\sqrt{2}}{2\sin 45^{\circ}}=$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$ (см).
б) основа $\sqrt{50}$, кути $75^{\circ}$ і $60^{\circ}$
Кут, що спирається на хорду $\sqrt{50}$:
$\alpha=180^{\circ}-75^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ}$.
$R=\dfrac{a}{2\sin\alpha}=\dfrac{\sqrt{50}}{2\sin 45^{\circ}}=$
$=\dfrac{\sqrt{50}}{2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{25}=5$ (см).
в) хорда $\sqrt{3}$, вписаний кут $60^{\circ}$
Хорду $\sqrt{3}$ видно під вписаним кутом $40^{\circ}+20^{\circ}=60^{\circ}$.
$R=\dfrac{a}{2\sin\alpha}=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sin 60^{\circ}}=$
$=\dfrac{\sqrt{3}}{2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1$ (см).
Наслідок з теореми синусів
Відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює діаметру описаного кола:
$\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R$, звідки $R=\dfrac{a}{2\sin\alpha}$.
Вписаний кут і хорда
Якщо хорду видно з точки кола під кутом $\alpha$, то цей вписаний кут $\alpha$ — це кут трикутника, протилежний даній хорді.
Табличні значення
$\sin 45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Ключова ідея. На всіх трьох рисунках трикутник вписаний у коло, тож коло — описане. Це означає, що працює наслідок з теореми синусів $\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R$: знаючи будь-яку сторону і протилежний їй кут, одразу маємо діаметр.
Яку сторону з яким кутом. Беремо ту хорду, довжина якої дана, і кут, що на неї спирається (лежить навпроти). У пункті б навпроти основи $\sqrt{50}$ кута немає в даних напряму — його знаходимо як третій кут трикутника через суму $180^{\circ}$.
Чому корені скорочуються. $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$, і ділення на $\sqrt{2}$ дає рівно $5$. Аналогічно $\sqrt{2}:\sqrt{2}=1$, $\sqrt{3}:\sqrt{3}=1$. Гарні цілі відповіді — підтвердження, що кути визначено правильно.
Не плутай з формулою $R=\dfrac{abc}{4S}$. Та формула теж дає радіус описаного кола, але потребує всіх трьох сторін. Тут достатньо однієї сторони і протилежного кута — наслідок з теореми синусів коротший.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.