Вправа 3.14 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
3.14. Діагональ рівнобічної трапеції дорівнює 15,5 м, а один із її кутів — $150^{\circ}$. Чому дорівнює радіус кола, описаного навколо даної трапеції?
Дано
рівнобічна трапеція $ABCD$
діагональ $d=15{,}5$ м
$\angle B=150^{\circ}$
Знайти
$R - ?$
Навколо рівнобічної трапеції завжди можна описати коло. Розглянемо трикутник $ABC$, де $AC$ — діагональ.
Кут $\angle ABC=150^{\circ}$ — вписаний, спирається на діагональ $AC$.
За наслідком з теореми синусів:
$\dfrac{AC}{\sin\angle ABC}=2R$.
$R=\dfrac{AC}{2\sin 150^{\circ}}=\dfrac{15{,}5}{2\cdot\dfrac{1}{2}}=\dfrac{15{,}5}{1}=15{,}5$ (м).
Коло навколо рівнобічної трапеції
Навколо рівнобічної (рівнобедреної) трапеції завжди можна описати коло. Коло, описане навколо трапеції, є також описаним навколо будь-якого трикутника з її вершин.
Наслідок з теореми синусів
$\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R$, $R=\dfrac{a}{2\sin\alpha}$.
$\sin 150^{\circ}=\dfrac{1}{2}$.
Перехід від трапеції до трикутника. Коло, описане навколо трапеції, описане й навколо трикутника $ABC$, бо всі три вершини лежать на тому ж колі. Тому радіус трапеції шукаємо як радіус кола, описаного навколо цього трикутника.
Яку хорду й кут беремо. Діагональ $AC$ — це хорда кола, а кут $\angle ABC=150^{\circ}$ спирається на неї. Цього досить для наслідку $\dfrac{AC}{\sin\angle ABC}=2R$.
Чому $\sin 150^{\circ}=\dfrac{1}{2}$. Синус тупого кута дорівнює синусу суміжного: $\sin 150^{\circ}=\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$. Тому навіть якби ми взяли суміжний кут $30^{\circ}$, відповідь була б та сама.
Цікавий факт. Розв'язавши задачу, дізнаєшся світовий рекорд у потрійному стрибку, який встановила 1995 року українська спортсменка Інеса Кравець, — рівно $15{,}5$ м.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.