Вправа 3.25 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
3.25. Використовуючи дані рисунка 3.10, знайдіть відрізок $AC$, якщо $BD=m$, $\angle ABC=\alpha$, $\angle ADC=\beta$.
Дано
$\angle C=90^{\circ}$ (рис. 3.10)
$BD=m$
$\angle ABC=\alpha$, $\angle ADC=\beta$
Знайти
$AC - ?$
Рисунок дивіться в підручнику (рис. 3.10).
$\angle ABC=\alpha$ — зовнішній кут трикутника $ABD$ при вершині $B$, тому
$\angle ABD=180^{\circ}-\alpha$.
У трикутнику $ABD$: $\angle ADB=\beta$, $\angle ABD=180^{\circ}-\alpha$, отже
$\angle BAD=\alpha-\beta$.
За теоремою синусів ($AD$ навпроти $\angle ABD$, $BD$ навпроти $\angle BAD$):
$\dfrac{AD}{\sin(180^{\circ}-\alpha)}=\dfrac{BD}{\sin(\alpha-\beta)}$.
$AD=\dfrac{m\sin\alpha}{\sin(\alpha-\beta)}$.
З прямокутного трикутника $ACD$ ($\angle C=90^{\circ}$):
$\sin\angle ADC=\dfrac{AC}{AD}$, $AC=AD\sin\beta$.
$AC=\dfrac{m\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha-\beta)}$.
Теорема синусів
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$.
Синус у прямокутному трикутнику
$\sin\beta=\dfrac{\text{протилежний катет}}{\text{гіпотенуза}}=\dfrac{AC}{AD}$.
Зовнішній кут і суміжність
$\sin(180^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha$.
Чому $\angle ABD=180^{\circ}-\alpha$. На рисунку точки $B$ і $D$ лежать на одній прямій по один бік від $C$, тож кут $\angle ABC=\alpha$ і внутрішній кут трикутника $\angle ABD$ — суміжні. Звідси $\angle ABD=180^{\circ}-\alpha$.
Дві дії — спершу $AD$, потім $AC$. Шуканий катет $AC$ зручно дістати з прямокутного трикутника $ACD$, але для цього потрібна гіпотенуза $AD$. Її знаходимо з трикутника $ABD$ через теорему синусів, де відома сторона — $BD=m$.
Чому $\sin(180^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha$. Синуси суміжних кутів рівні, тому громіздкий запис одразу спрощується до $\sin\alpha$. У підсумку три синуси: $\sin\alpha$ і $\sin\beta$ у чисельнику, $\sin(\alpha-\beta)$ у знаменнику. Умова $\alpha>\beta$ гарантує, що знаменник додатний.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.