Вправа 3.34 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
3.34. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 9 см і 21 см, а висота — 8 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції.
Дано
рівнобічна трапеція $ABCD$
$AD=21$ см, $BC=9$ см
висота $h=8$ см
Знайти
$R - ?$
Опустимо висоту $CH$ на основу $AD$. Звис бічної сторони:
$HD=\dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{21-9}{2}=6$ (см).
Тоді $AH=AD-HD=21-6=15$ (см).
З прямокутного трикутника $ACH$ ($\angle H=90^{\circ}$) знайдемо діагональ:
$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{289}=17$ (см).
Бічна сторона з трикутника $CHD$:
$CD=\sqrt{HD^2+CH^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$ (см).
Синус кута $\angle ADC$ (при основі): з трикутника $CHD$
$\sin\angle ADC=\dfrac{CH}{CD}=\dfrac{8}{10}=0{,}8$.
Коло, описане навколо трапеції, описане й навколо трикутника $ACD$, де $AC$ навпроти $\angle ADC$:
$2R=\dfrac{AC}{\sin\angle ADC}=\dfrac{17}{0{,}8}=21{,}25$.
$R=10{,}625=\dfrac{85}{8}$ (см).
Коло навколо рівнобічної трапеції
Навколо рівнобічної трапеції завжди можна описати коло. Воно описане й навколо трикутника з трьох її вершин.
Висота й звис
Звис бічної сторони рівнобічної трапеції: $\dfrac{(\text{більша основа})-(\text{менша основа})}{2}$.
Теорема Піфагора і наслідок з теореми синусів
$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}$, $2R=\dfrac{AC}{\sin\angle ADC}$.
Від трапеції до трикутника. Радіус кола навколо трапеції дорівнює радіусу кола навколо трикутника $ACD$ (усі вершини на одному колі). Тому всю роботу зводимо до цього трикутника.
Навіщо опускати висоту. Висота $CH$ розбиває фігуру на прямокутні трикутники, де працює Піфагор. З $ACH$ дістаємо діагональ $AC=17$, з $CHD$ — бічну $CD=10$ і синус кута при основі.
Чому числа «гарні». Тут зашиті піфагорові трійки: $8$–$15$–$17$ (діагональ) і $6$–$8$–$10$ (бічна). Тому корені добуваються точно. Якщо корінь не виходить цілим — варто перевірити звис і проекції.
Фінальний крок. Діагональ $AC$ лежить навпроти кута $\angle ADC$, синус якого вже знайдено ($0{,}8$). Наслідок з теореми синусів $2R=\dfrac{AC}{\sin\angle ADC}$ одразу дає діаметр, а далі — радіус.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.