Вправа 3.38 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
3.38. Для знаходження відстані від точки $A$ до вежі $B$, яка розташована на другому березі річки (рис. 3.11), за допомогою віх, рулетки та приладу для вимірювання кутів (теодоліту) позначили на місцевості точку $C$ таку, що $\angle BAC=42^{\circ}$, $\angle ACB=64^{\circ}$, $AC=20$ м. Як знайти відстань від точки $A$ до вежі $B$? Знайдіть цю відстань.
Дано
$\triangle ABC$
$\angle BAC=42^{\circ}$, $\angle ACB=64^{\circ}$
$AC=20$ м
Знайти
$AB - ?$
$\angle ABC=180^{\circ}-42^{\circ}-64^{\circ}=74^{\circ}$.
$AB$ лежить навпроти $\angle ACB$, $AC$ — навпроти $\angle ABC$. За теоремою синусів:
$\dfrac{AB}{\sin\angle ACB}=\dfrac{AC}{\sin\angle ABC}$.
$AB=\dfrac{AC\sin 64^{\circ}}{\sin 74^{\circ}}=\dfrac{20\cdot 0{,}8988}{0{,}9613}\approx$
$\approx 18{,}7$ (м).
Сума кутів трикутника
$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$.
Теорема синусів
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$.
$\sin 64^{\circ}\approx 0{,}8988$, $\sin 74^{\circ}\approx 0{,}9613$.
Як це працює на місцевості. Відстань $AB$ через річку напряму не виміряти. Тому позначають третю точку $C$ на «своєму» березі, де можна виміряти відрізок $AC$ і два кути теодолітом. Далі — чиста геометрія.
Чому теорема синусів. Відома одна сторона ($AC$) і два кути. Шукана сторона $AB$ протилежна виміряному куту $\angle ACB$, а $AC$ — куту $\angle ABC$, який знаходимо із суми $180^{\circ}$. Це класична схема «сторона і два кути».
Округлення. Кути $42^{\circ}$, $64^{\circ}$, $74^{\circ}$ нетабличні, тож синуси беремо наближено, і відповідь теж наближена — близько $18{,}7$ м. Для практичного вимірювання відстані така точність цілком достатня.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.