Вправа 3.39 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
3.39. Велотраса має форму трикутника, два кути якого дорівнюють $50^{\circ}$ і $100^{\circ}$. Меншу сторону цього трикутника одна з велосипедисток проїжджає за 1 год. За який час вона проїде всю трасу? Відповідь подайте в годинах, округливши її до десятих.
Дано
трикутна траса $\triangle ABC$
$\angle A=50^{\circ}$, $\angle B=100^{\circ}$
меншу сторону — за 1 год
Знайти
час на всю трасу
$\angle C=180^{\circ}-50^{\circ}-100^{\circ}=30^{\circ}$.
Найменша сторона лежить навпроти найменшого кута $\angle C=30^{\circ}$ — це сторона $AB$.
Сторони пропорційні синусам протилежних кутів:
$AB:BC:AC=\sin 30^{\circ}:\sin 50^{\circ}:\sin 100^{\circ}$.
Швидкість сталá, тому час пропорційний довжині. Меншу сторону $AB$ проїхано за 1 год, отже час на всю трасу:
$t=\dfrac{\sin 30^{\circ}+\sin 50^{\circ}+\sin 100^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=$
$=\dfrac{0{,}5+0{,}766+0{,}985}{0{,}5}\approx\dfrac{2{,}251}{0{,}5}\approx 4{,}5$ (год).
Теорема синусів
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$.
Сторони відносяться як синуси протилежних кутів.
Менша сторона
Проти найменшого кута лежить найменша сторона.
$\sin 30^{\circ}=0{,}5$, $\sin 50^{\circ}\approx 0{,}766$, $\sin 100^{\circ}\approx 0{,}985$.
Самих кутів досить. Реальних довжин сторін немає, але вони й не потрібні. Теорема синусів дає відношення сторін через синуси кутів, а час при сталій швидкості пропорційний довжині. Тому відношення часів дорівнює відношенню сторін.
Чому ділимо на $\sin 30^{\circ}$. Менша сторона (навпроти $30^{\circ}$) долається за 1 год — це наша «одиниця». Решту сторін виражаємо через неї, а сума всіх трьох (поділена на меншу) і дає час на повне коло.
Найменший кут — найменша сторона. Важливо правильно визначити, яка сторона менша: це та, що навпроти кута $30^{\circ}$. Якби за «одиницю» взяли іншу сторону, час вийшов би неправильним.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.