Вправа 3.40 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
3.40. Дороги, які сполучають села $A$, $B$ і $C$ (рис. 3.12), утворюють трикутник, причому дорога із села $A$ до села $C$ заасфальтована, а дороги із села $A$ до села $B$ та із села $B$ до села $C$ — ґрунтові. Дороги, які ведуть із села $A$ до сіл $B$ і $C$, утворюють кут $15^{\circ}$, а дороги, які ведуть із села $B$ до сіл $A$ і $C$, — кут $5^{\circ}$. Швидкість руху автомобіля по асфальтованій дорозі у 2 рази більша за швидкість його руху по ґрунтовій. Який шлях вибрати водію автомобіля, щоб якнайшвидше дістатися із села $A$ до села $B$?
Дано
$\triangle ABC$, $\angle A=15^{\circ}$, $\angle B=5^{\circ}$
$AC$ — асфальт (швидкість $2v$)
$AB$, $BC$ — ґрунт (швидкість $v$)
Знайти
який шлях $A\to B$ швидший
$\angle C=180^{\circ}-15^{\circ}-5^{\circ}=160^{\circ}$.
Нехай радіус описаного кола такий, що сторони рівні $AB=2R\sin C$, $BC=2R\sin A$, $AC=2R\sin B$. Покладемо $2R=1$:
$AB=\sin 160^{\circ}\approx 0{,}342$; $BC=\sin 15^{\circ}\approx 0{,}259$; $AC=\sin 5^{\circ}\approx 0{,}087$.
Шлях 1: напряму $A\to B$ (ґрунт)
$t_1=\dfrac{AB}{v}=\dfrac{0{,}342}{v}$.
Шлях 2: $A\to C\to B$ (асфальт + ґрунт)
$t_2=\dfrac{AC}{2v}+\dfrac{BC}{v}=\dfrac{0{,}087}{2v}+\dfrac{0{,}259}{v}=$
$=\dfrac{0{,}043+0{,}259}{v}=\dfrac{0{,}302}{v}$.
$t_2<t_1$, бо $0{,}302<0{,}342$.
Теорема синусів
$a=2R\sin\alpha$ — сторона пропорційна синусу протилежного кута.
$\sin 160^{\circ}\approx 0{,}342$, $\sin 15^{\circ}\approx 0{,}259$, $\sin 5^{\circ}\approx 0{,}087$.
Час руху
$t=\dfrac{S}{v}$ — час дорівнює відстані, поділеній на швидкість.
Навіщо теорема синусів. Реальних відстаней між селами немає, є лише кути. Але сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів, тому можна взяти умовний масштаб ($2R=1$) і порівнювати не самі відстані, а їхні «синусні» представники — для порівняння часів цього досить.
Чому об'їзд може бути швидшим. Пряма дорога $AB$ ґрунтова й повільна. Об'їзд через $C$ довший за відстанню, але більша його частина ($AC$) — асфальт, де швидкість удвічі вища. Ділення на $2v$ для асфальту «з'їдає» зайву довжину.
Підсумок порівняння. $t_1\sim 0{,}342$, $t_2\sim 0{,}302$ (в одиницях $\tfrac{1}{v}$). Різниця невелика, але стабільна — об'їзд через $C$ виграє. Висновок: водієві варто їхати $A\to C\to B$.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.