Вправа 3.41 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
3.41. Дороги із сіл $A$ і $B$ сходяться біля розвилки $C$ (рис. 3.13). Дорога із села $A$ до розвилки утворює з дорогою із села $A$ в село $B$ кут $30^{\circ}$, а дорога із села $B$ до розвилки утворює з дорогою із села $B$ в село $A$ кут $70^{\circ}$. Одночасно із села $A$ до розвилки виїхав автомобіль зі швидкістю 90 км/год, а із села $B$ — автобус зі швидкістю 60 км/год. Хто з них першим доїде до розвилки?
Дано
$\triangle ABC$, $\angle A=30^{\circ}$, $\angle B=70^{\circ}$
автомобіль $A\to C$: $90$ км/год
автобус $B\to C$: $60$ км/год
Знайти
хто перший доїде до $C$
$\angle C=180^{\circ}-30^{\circ}-70^{\circ}=80^{\circ}$.
Автомобіль долає $AC$, автобус — $BC$. $AC$ навпроти $\angle B$, $BC$ навпроти $\angle A$. Покладемо $2R=1$:
$AC=\sin 70^{\circ}\approx 0{,}940$; $BC=\sin 30^{\circ}=0{,}5$.
Час автомобіля: $t_A=\dfrac{AC}{90}\approx\dfrac{0{,}940}{90}\approx 0{,}0104$.
Час автобуса: $t_B=\dfrac{BC}{60}=\dfrac{0{,}5}{60}\approx 0{,}0083$.
$t_B<t_A$.
Теорема синусів
$a=2R\sin\alpha$ — сторона пропорційна синусу протилежного кута.
$\sin 70^{\circ}\approx 0{,}940$, $\sin 30^{\circ}=0{,}5$.
Час руху
$t=\dfrac{S}{v}$.
Знов порівняння без реальних відстаней. Самі відстані $AC$ і $BC$ невідомі, але їх відношення дає теорема синусів: $AC:BC=\sin 70^{\circ}:\sin 30^{\circ}$. Беремо умовний масштаб $2R=1$ — для порівняння часів цього досить.
Яка сторона кому. Автомобіль із $A$ їде до розвилки $C$ — долає сторону $AC$ (навпроти кута $B$). Автобус із $B$ долає $BC$ (навпроти кута $A$). Не переплутати, яка сторона якому транспорту, — головна тонкість задачі.
Чому автобус виграв. Хоч автобус повільніший ($60$ проти $90$), його шлях $BC$ помітно коротший ($\sin 30^{\circ}=0{,}5$ проти $\sin 70^{\circ}\approx 0{,}94$). Менша відстань переважує меншу швидкість — час автобуса виходить меншим.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.