Вправа 3.42 — ГДЗ Геометрія 9 клас Мерзляк
3.42. Бісектриси кутів $B$ і $C$ прямокутника $ABCD$ перетинають сторону $AD$ у точках $M$ і $K$ відповідно. Доведіть, що $BM=CK$.
Дано
прямокутник $ABCD$
$BM$ — бісектриса $\angle B$, $M\in AD$
$CK$ — бісектриса $\angle C$, $K\in AD$
Довести
$BM=CK$
Розглянемо трикутник $ABM$. $\angle A=90^{\circ}$, $\angle ABM=\dfrac{1}{2}\angle B=45^{\circ}$.
Тоді $\angle AMB=45^{\circ}$, отже трикутник $ABM$ — рівнобедрений прямокутний: $AM=AB$.
Аналогічно трикутник $DCK$: $\angle D=90^{\circ}$, $\angle DCK=45^{\circ}$, $\angle DKC=45^{\circ}$, тому $DK=DC$.
У прямокутнику $AB=DC$, тому $AM=DK$.
Прямокутні трикутники $ABM$ і $DCK$ рівні за двома катетами ($AB=DC$, $AM=DK$), отже їхні гіпотенузи рівні:
$BM=CK$.
Кути прямокутника
Усі кути дорівнюють $90^{\circ}$, протилежні сторони рівні: $AB=DC$.
Рівнобедрений прямокутний трикутник
Якщо в прямокутному трикутнику гострий кут $=45^{\circ}$, то другий теж $45^{\circ}$, а катети рівні.
Рівність трикутників
За двома катетами прямокутні трикутники рівні, тому рівні й гіпотенузи.
Ключ — кут $45^{\circ}$. Бісектриса прямого кута ділить його навпіл, даючи $45^{\circ}$. У прямокутному трикутнику з кутом $45^{\circ}$ другий гострий кут теж $45^{\circ}$, а такий трикутник рівнобедрений — катети рівні.
Чому $AM=DK$. З рівнобедреності $AM=AB$ і $DK=DC$. А в прямокутнику $AB=DC$ (протилежні сторони). Звідси $AM=DK$ — катети двох трикутників збігаються.
Завершення. Трикутники $ABM$ і $DCK$ рівні за двома катетами, тому рівні їхні гіпотенузи $BM$ і $CK$. Доведення геометричне, теорема синусів тут не потрібна — це задача на повторення.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.